Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 40 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?3 m3 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 8 mP1 = 40 kN @ 3 mP2 = 10 kN @ 6 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 5 mP = 30 kN @ 1 mw = 3 kN/m, 3 ile 5 m arasında
RB = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
5 kN/m40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

40 kN @ 4 m5 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 5 kN/mABC6 m2,5 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2,5 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. B mesnedindeki eğilme momenti MB değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8,5 mw = 5 kN/m, 0 ile 8,5 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında
MB = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB20 kN4 m1 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 20 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB30 kN10 kN8 m5 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 30 kNyatay yük = 10 kN →
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 2 kNABδ1,5 m2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 2 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 5 kN/mδL = 6 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 m30 × 100 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 55 kNL = 2 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 55 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 55 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 22,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 40 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​3 m3 m2 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·8 = 40·3 + 10·6
RB = 180/8 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 22,5 = 27,5 kN

Cevap

RB = 22,5 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 10,8 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​RB​1 m2 m2 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1 + 3·2·4
RB = 54/5 = 10,8 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 10,8 = 25,2 kN

Cevap

RB = 10,8 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 56,67 kN, R2 = 43,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 103,3, MC = 186,7 kN·m, MD = 170, ME = 133,3, MF = 76,67, MG = 0

Cevap

İşaret C: MC = 186,7 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: MB = −15,63 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·8,5 = 42,5 kN, x̄ = 4,25 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 5·8,5·4,25
RB = 180,6/6 = 30,1 kN
ΣFy = 0: RA = 42,5 − 30,1 = 12,4 kN

B’den kesin ve çıkmayı tutun

Çıkmadaki yük w·a, B’den a/2 uzaklıkta etkir ve kirişi mesnet üzerinde negatif yönde eğer.

MB = −w·a²/2 = −5·2,5²/2 = −15,63 kN·m

Cevap

MB = −15,63 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −15,81 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −15/0,9487 = −15,81 kN

Cevap

FAB = −15,81 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −14,58 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB30 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·5 + 10·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7,5/0,5145 = −14,58 kN

Cevap

FAB = −14,58 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 9,264 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 2000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 2000·1500²·2500²/(3·2,53 × 10¹¹·4000) = 9,264 mm

Cevap

δP = 9,264 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 25,31 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·6000⁴/(384·200000·16,67) = 2,531 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 25,31 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 25,31 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 197,4 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1500² = 197392 N = 197,4 kN

Cevap

Pcr = 197,4 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 84,88 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 84,88 mm

Cevap

d = 84,88 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 188,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis