Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P = 65 kNM = 25 kN·mABRA​ = ?2 m1 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 2 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta saat yönünün tersine dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.

L = 4 mP = 65 kN @ 2 mM = 25 kN·m (saat yönünün tersine) @ 3 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 60 kN, 40°Q = 80 kNABRA​ = ?3 m6 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 9 m uzaklıkta yatayla 40° açı yapan bir P yükü ve A’dan 3 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.

L = 10 mP = 60 kN @ 9 m, θ = 40°Q = 80 kN @ 3 m
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 2 kN/mP = 15 kNABkesit1,5 m0,5 m

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 2 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti Mx değerini A ankastre mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 2 mP = 15 kN @ 2 mw = 2 kN/m, 0 ile 2 m arasındax = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 4 kN/mP = 40 kNAB2 m2 m

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 4 mP = 40 kN @ 2 mw = 4 kN/m, 0 ile 4 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH20 kN30 kN40 kN20 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 20 kN ↓C: 30 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB45 kN10 kN6 m4 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 3 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 45 kNyatay yük = 10 kN →
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 8 kN/mδL = 4 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 8 kN/mAB3 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 3 mw = 8 kN/m
MA = kN·m
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2,5 m40 × 100 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 135 kNL = 4 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 135 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 135 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 38,75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·4 − 65·2 + 25 = 0
RB = 105/4 = 26,25 kN

Düşey denge

RA = 65 − 26,25 = 38,75 kN

Cevap

RA = 38,75 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 75,47 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 60·sin 40° = 38,57 kN
Ph = 60·cos 40° = 45,96 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·10 = 38,57·9 + 80·3 → RB = 58,71 kN
Ay = 38,57 + 80 − 58,71 = 59,86 kN
Ax = Ph = 45,96 kN

A’daki bileşke

RA = √(45,96² + 59,86²) = 75,47 kN

Cevap

RA = 75,47 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = −7,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m
w: −2·0,5²/2 = −0,25 kN·m
Mx = −7,5 − 0,25 = −7,75 kN·m

Cevap

Mx = −7,75 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 48 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 4·4·2
RB = 112/4 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 28 = 28 kN

V = 0 nerede?

V(2⁻) = RA − w·2 = 20 kN
V(2⁺) = 20 − 40 = −20 kN
Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 28·2 − 4·2²/2 = 48 kN·m

Cevap

Mmax = 48 kN·m

A’dan x = 2 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 52,5 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 87,5 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 12,5 kN (T), HC: 50 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −16,67 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB45 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·4 + 10·3 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 35 = 10 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,6 = −16,67 kN

Cevap

FAB = −16,67 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 3,704 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 3,704 mm

Cevap

δmax = 3,704 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: MA = 9 kN·m

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

MA = wL²/2 − RB·L = 36 − 27 = 9 kN·m

Cevap

MA = 9 kN·m
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 673,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1250² = 673765 N = 673,8 kN

Cevap

Pcr = 673,8 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 81,71 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 81,71 mm

Cevap

d = 81,71 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 195,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis