Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 40 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​1 m1,5 m1,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 4 mP1 = 40 kN @ 1 mP2 = 45 kN @ 2,5 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 60 kNQ = 25 kNADCMA​ = ?2 m0,5 m3 m0,5 m

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 2,5 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 6 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 5,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü ve A’dan 2 m uzaklıkta bir Q tekil yükü. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 60 kN @ 5,5 mQ = 25 kN @ 2 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 3 kN/mP = 25 kNABkesit0,5 m1 m3,5 m

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 1,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti Mx değerini A ankastre mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 25 kN @ 1,5 mw = 3 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 8 kN/mP = 55 kNABkesit6 m4 m

A mesnedinden x = 6 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 55 kN @ 6 mw = 8 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 6 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB40 kN5 m3 m3 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 40 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH10 kN40 kN25 kN35 kN10 kN4 × 4 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 10 kN ↓C: 40 kN ↓F: 25 kN ↓F: 35 kN →G: 10 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
w = 4 kN/mδL = 4 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 12 kN/mδL = 1,5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 5 m50 × 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 15 kNL = 4 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 15 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 46,88 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 40 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1 m1,5 m1,5 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 45·2,5
RB = 152,5/4 = 38,13 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 38,13 = 46,88 kN

Cevap

RA = 46,88 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 71,43 kN·m

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

ΣMC = 0: RD·3,5 = 60·3
RD = 51,43 kN
VC = 60 − 51,43 = 8,571 kN

AC kısmı

Mafsal kuvveti VC, AC üzerinde aşağı doğru etkir (CD üzerindeki etkisine eşit ve zıt).

RA = 25 + 8,571 = 33,57 kN
MA = 25·2 + 8,571·2,5 = 71,43 kN·m

Cevap

MA = 71,43 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = −55,38 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −25·1 = −25 kN·m
w: −3·4,5²/2 = −30,38 kN·m
Mx = −25 − 30,38 = −55,38 kN·m

Cevap

Mx = −55,38 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 228 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 55·6 + 8·10·5
RB = 730/10 = 73 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 73 = 62 kN
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​ = 62RB​ = 73kesit6 m4 m

x = 6 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 62·6 − 8·6·3 = 228 kN·m

Cevap

Mx = 228 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 16 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·3 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 24 = 16 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24/0,8321 = −28,84 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−28,84)·0,5547 = 16 kN

Cevap

FAC = 16 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 94,58 kN (T), BC: 94,58 kN (T), CD: 53,75 kN (T), DE: 53,75 kN (T), FG: 107,5 kN (C), GH: 107,5 kN (C), AF: 74,48 kN (C), HE: 67,19 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 16,15 kN (T), HC: 67,19 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH
7.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 15,87 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 15,87 mm

Cevap

δmax = 15,87 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,726 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 17,26 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 69,09 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2500² = 69087 N = 69,09 kN

Cevap

Pcr = 69,09 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 39,47 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 39,47 mm

Cevap

d = 39,47 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 283,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis