Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P = 40 kNM = 40 kN·mABRA​ = ?3 m1 m6 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 4 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.

L = 10 mP = 40 kN @ 3 mM = 40 kN·m (saat yönünde) @ 4 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 6 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​2,5 m0,5 m2 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 6 mP = 60 kN @ 2,5 mw = 6 kN/m, 3 ile 5 m arasında
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
8 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 2 m8 kN/m, 2–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 2 kN/mP = 75 kNAB1,5 m3,5 m

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 5 mP = 75 kN @ 1,5 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB45 kN4 m1 m4 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 45 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB10 kN25 kN8 m6 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 6 m uzaktadüşey yük = 10 kNyatay yük = 25 kN →
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 2 kNABδ1,5 m4,5 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 2 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 10 kN/mP = 18 kNδL = 2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 18 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2 m30 × 60 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 40 kNL = 6 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 40 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 40 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 24 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·10 − 40·3 − 40 = 0
RB = 160/10 = 16 kN

Düşey denge

RA = 40 − 16 = 24 kN

Cevap

RA = 24 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 39 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 6 kN/mP = 60 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m2 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2,5 + 6·2·4
RB = 198/6 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 33 = 39 kN

Cevap

RA = 39 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 44 kN, R2 = 38 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 44, MC = 88 kN·m, MD = 78, ME = 60, MF = 34, MG = 0

Cevap

İşaret C: MC = 88 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 84 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 75·1,5 + 2·5·2,5
RB = 137,5/5 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 27,5 = 57,5 kN

V = 0 nerede?

V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 54,5 kN
V(1,5⁺) = 54,5 − 75 = −20,5 kN
Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

Mmax = RA·1,5 − w·1,5²/2 = 57,5·1,5 − 2·1,5²/2 = 84 kN·m

Cevap

Mmax = 84 kN·m

A’dan x = 1,5 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 8,438 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·1 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 11,25 = 33,75 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,8 = −14,06 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14,06)·0,6 = 8,438 kN

Cevap

FAC = 8,438 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = 15,37 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB10 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·6 + 25·3 → Cy = 16,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 16,88 = −6,875 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/6,708 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−6,875/0,4472 = 15,37 kN

Cevap

FAB = 15,37 kN (çekme)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 8,074 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 2000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 2000·1500²·4500²/(3·6,27 × 10¹¹·6000) = 8,074 mm

Cevap

δP = 8,074 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 6,219 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 18000·2500³/(48·1,76 × 10¹²) = 3,329 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 2,89 mm

Toplayın

δmax = 3,329 + 2,89 = 6,219 mm

Cevap

δmax = 6,219 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 16,65 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/4000² = 16655 N = 16,65 kN

Cevap

Pcr = 16,65 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 61,78 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 61,78 mm

Cevap

d = 61,78 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 271,9, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis