Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 8 mP₁ = 55 kN @ 4 mP₂ = 45 kN @ 6 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 6 mP = 30 kN @ 4,5 mw = 5 kN/m, 3 ile 6 m arasında

R_A = kN

3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 9,5 mP₁ = 60 kN @ 1 mP₂ = 75 kN @ 9,5 mmesnetler x = 0 ve x = 8 m konumlarında

M_x = kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 10 kN @ 3 mw = 4 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 3 m

M_x = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 4 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 55 kN

F_BC = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 30 kNyatay yük = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 3 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 18 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 38,75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·4 + 45·6

R_B = 490/8 = 61,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 61,25 = 38,75 kN

Cevap

R_A = 38,75 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 11,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, x̄ = 4,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4,5 + 5·3·4,5

R_B = 202,5/6 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Cevap

R_A = 11,25 kN

3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 38,44 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·1 + 75·9,5

R_B = 772,5/8 = 96,56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 96,56 = 38,44 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·1 = 38,44·1 = 38,44 kN·m

Cevap

M_x = 38,44 kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 63 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·3 + 4·10·5

R_B = 230/10 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 23 = 27 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 27·3 − 4·3·1,5 = 63 kN·m

Cevap

M_x = 63 kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −42,97 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·5 → C_y = 34,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 34,38 = 20,63 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −34,38/0,8 = −42,97 kN

Cevap

F_BC = −42,97 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −26,56 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·3 − 5·4 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 8,75 = 21,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21,25/0,8 = −26,56 kN

Cevap

F_AB = −26,56 kN (basınç)

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 3,424 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 3000·1500²·3500²/(3·1,61 × 10¹²·5000) = 3,424 mm

Cevap

δ_P = 3,424 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 1,833 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 18000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·3000³/(48·8,4 × 10¹²) = 1,205 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 0,6278 mm

Toplayın

δ_max = 1,205 + 0,6278 = 1,833 mm

Cevap

δ_max = 1,833 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 8,225 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/5000² = 8225 N = 8,225 kN

Cevap

P_cr = 8,225 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 12,34 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Cevap

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Kafes: düğüm yöntemi

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Serbest cisim diyagramı

Denge

Cevap

Serbest cisim diyagramı

Denge

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

C düğümü

Cevap

Mesnet tepkileri

A düğümü

Cevap

Tutarlı birimler

Yükün altındaki sehim

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun