Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 65 kNP2​ = 10 kNABCRA​ = ?2 m2,5 m1,5 m

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 4,5 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.

AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 65 kN @ 2 mP2 = 10 kN @ 6 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 20 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?1,5 m2,5 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda sıfır olan ve serbest uç B’de 20 kN/m değerine artan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 1,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 4 mw0 = 20 kN/mP = 35 kN @ 1,5 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 12 kN/mABkesit7 m1 m

A mesnedinden x = 7 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 12 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 7 m
Vx = kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 2 kN/mABC8 m2 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. Mesnetler arasındaki en büyük pozitif eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 10 mw = 2 kN/m, 0 ile 10 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 8 m konumlarında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH20 kN10 kN30 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

D: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB30 kN20 kN4 m1 m2 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 30 kNyatay yük = 20 kN →
FBC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 8 kN/mδL = 2 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 14 kNABδ4,5 m1,5 m

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δmax değerini bulun.

P = 14 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2,5 md = 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 25 kNL = 2 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 25 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 25 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 32,78 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 65·2 + 10·6
RB = 190/4,5 = 42,22 kN

Düşey denge

RA = 65 + 10 − 42,22 = 32,78 kN

Cevap

RA = 32,78 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 159,2 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·20·4 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 40·2,667 + 35·1,5 = 159,2 kN·m

Cevap

MA = 159,2 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −36 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48kesit7 m1 m

x = 7 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 48 − 12·7 = −36 kN

Cevap

Vx = −36 kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 14,06 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 2·10·5
RB = 100/8 = 12,5 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 12,5 = 7,5 kN

Sıfır kesme kuvveti

RA − w·x0 = 0 → x0 = 7,5/2 = 3,75 m

En büyük pozitif moment

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7,5²/(2·2) = 14,06 kN·m

Cevap

Mmax = 14,06 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: BF elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

B düğüm noktası

AB ve BC aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca BF’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 13,12 kN (T), BC: 13,12 kN (T), CD: 31,87 kN (T), DE: 31,87 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 21,88 kN (C), HE: 53,12 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 21,88 kN (T), HC: 9,375 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: BF
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −31,55 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB30 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 + 20·2 → Cy = 17,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 17,5 = 12,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17,5/0,5547 = −31,55 kN

Cevap

FBC = −31,55 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 6,667 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 6,667 mm

Cevap

δ = 6,667 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 1,834 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 14000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

En büyük sehim

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1,834 mm

Cevap

δmax = 1,834 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 143,5 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1750² = 143515 N = 143,5 kN

Cevap

Pcr = 143,5 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 56,68 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,68 mm

Cevap

d = 56,68 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 282,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis