Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​ = ?RB​1 m2,5 m2,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 6 mP1 = 20 kN @ 1 mP2 = 15 kN @ 3,5 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 20 kN, 45°Q = 65 kNABα = ?0,5 m4 m0,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4,5 m uzaklıkta yatayla 45° açı yapan bir P yükü ve A’dan 0,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvveti ile yatay arasındaki açı α değerini bulun.

L = 5 mP = 20 kN @ 4,5 m, θ = 45°Q = 65 kN @ 0,5 m
α = °
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 8 kN/mABkesit3,5 m0,5 m

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 8 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 3,5 m
Vx = kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 10 kN/mABC5 m2 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. Mesnetler arasındaki en büyük pozitif eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 7 mw = 10 kN/m, 0 ile 7 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB20 kN4 m1 m2 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 20 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH35 kN10 kN40 kN20 kN20 kN4 × 3 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 35 kN ↓C: 10 kN ↓F: 40 kN ↓F: 20 kN →G: 20 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
w = 2 kN/mP = 6 kNABδ2,5 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 6 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 13 kNP = 13 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

Basit mesnetli bir kiriş, üçte bir noktalarında (her mesnetten L/3 uzaklıkta) iki eşit P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak açıklık ortasındaki sehim δmax değerini bulun.

P = 13 kNL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 m30 × 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 45 kNL = 2,5 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 22,92 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1 m2,5 m2,5 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 15·3,5
RB = 72,5/6 = 12,08 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 12,08 = 22,92 kN

Cevap

RA = 22,92 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: α = 76,72 °

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 20·sin 45° = 14,14 kN
Ph = 20·cos 45° = 14,14 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·5 = 14,14·4,5 + 65·0,5 → RB = 19,23 kN
Ay = 14,14 + 65 − 19,23 = 59,91 kN
Ax = Ph = 14,14 kN

A’daki yön

α = atan(Ay/Ax) = atan(59,91/14,14) = 76,72°

Cevap

α = 76,72°
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −12 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16kesit3,5 m0,5 m

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 16 − 8·3,5 = −12 kN

Cevap

Vx = −12 kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 22,05 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, x̄ = 3,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 10·7·3,5
RB = 245/5 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 49 = 21 kN

Sıfır kesme kuvveti

RA − w·x0 = 0 → x0 = 21/10 = 2,1 m

En büyük pozitif moment

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 21²/(2·10) = 22,05 kN·m

Cevap

Mmax = 22,05 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 7,5 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,5547 = −9,014 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−9,014)·0,8321 = 7,5 kN

Cevap

FAC = 7,5 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 86,25 kN (T), BC: 86,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 93,69 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 12,37 kN (C), HC: 54,8 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 6,975 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 6000·2500³/(3·5,88 × 10¹²) = 5,315 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 1,661 mm

Toplayın

δ = 5,315 + 1,661 = 6,975 mm

Cevap

δ = 6,975 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 21,09 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 13000 N, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

L/3’teki bir yük

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 10,55 mm

İki yükü toplayın

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 21,09 mm

Cevap

δmax = 21,09 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 27,63 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1500² = 27635 N = 27,63 kN

Cevap

Pcr = 27,63 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 63,82 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,82 mm

Cevap

d = 63,82 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 156,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis