Тренувальні задачі AP Physics 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість
v = v0 + a·t
Переміщення
s = v0·t + ½·a·t²
Без часу
v² = v0² + 2·a·s
Одиниці
1 m/s = 3,6 km/h

Метод

  1. Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
  2. Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
  3. Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
  4. Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон
ΣF = m·a
Вага
W = m·g
Тертя ковзання
Ff = μ·N
На похилій площині
уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
  2. Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
  3. Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
  4. Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
Положення
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
Максимальна висота
H = h + vy²/(2g)
Дальність (рівна поверхня)
R = v0²·sin 2θ/g

Метод

  1. Розкладіть початкову швидкість на складові: vx = v₀·cos θ і vy = v₀·sin θ.
  2. Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
  3. Знайдіть час польоту з вертикального руху.
  4. Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення
a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила
F = m·v²/r
Кутова швидкість
ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя
vmax = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія
Ek = ½mv²
Потенціальна енергія
Ep = mgh
Енергетичний баланс
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
Робота сили тертя
W = μ·N·d
Потужність
P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс
p = m·v
Збереження
Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
Імпульс сили
J = F·Δt = m·Δv

Метод

  1. Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
  2. Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
  3. При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
  4. Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Кутова частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Енергія
E = ½·k·A²

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня
t (s)v (m/s)t = ?10

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0
t = s
2.КінематикаСкладна
t (s)v (m/s)4 s

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 16 s і нарешті гальмує з прискоренням 3 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a1 = 1 m/s²t1 = 4 st2 = 16 sa3 = −3 m/s²
s = m
3.Закони НьютонаСередня
θ = 20°a = ?m = 11 kg

Брусок масою 11 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 11 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²
a = m/s²
4.Закони НьютонаСкладна
m1​ = 7,5 kg5 kgμ = 0,3

Брусок масою 7,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m1 = 7,5 kgm2 = 5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²
a = m/s²
5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня
v0​ = 10 m/s55°дальністьH = ?

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v0 = 10 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²
H = m
6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна
h = 10 mv0​ = 12 m/s45°α = ?

М’яч кидають зі швидкістю 12 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 12 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9,81 m/s²
α = °
7.Рух по колуСередня
r = 40 m5 m/s

Автомобіль масою 1100 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 5 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 40 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1100 kgv = 5 m/sr = 40 mg = 9,81 m/s²
N = N
8.Рух по колуСкладна
r = 1,5 m9,5 m/svtop​ = ?

Кульку масою 1,4 kg на легкій нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу Ttop нитки в найвищій точці.

m = 1,4 kgr = 1,5 mvbottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²
Ttop = N
9.Робота й енергіяСередня
36 km/h4°1200 kg

Автомобіль масою 1200 kg піднімається схилом 4° зі сталою швидкістю 36 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 300 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1200 kgθ = 4°Fr = 300 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²
P = kW
10.Робота й енергіяСкладна
h = 2,5 mL = 3 mμ = 0,2k = 800 N/m

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 3 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²
x = cm
11.Імпульс і зіткненняСередня
0,5 kg3 m/s4 kg

Візок масою 0,5 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′1 першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m1 = 0,5 kgm2 = 4 kgv1 = 3 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.Імпульс і зіткненняСкладна
11 m/s20 m/s

М’яч масою 0,55 kg ударяється об стіну зі швидкістю 11 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 20 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,55 kgvin = 11 m/svout = 20 m/sΔt = 25 ms
J = N·s
13.Пружини й маятникиСередня
t (s)x (cm)0,05 s

Вантаж масою 0,5 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 11 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,05 s (зі знаком).

m = 0,5 kgk = 80 N/mA = 11 cmt = 0,05 s
x = cm
14.Пружини й маятникиСкладна
mk = 230 N/mA = 4 cmx = 2 cm

Вантаж на пружині з k = 230 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 4 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

k = 230 N/mA = 4 cmx = 2 cm
K = J

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2,5 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/4 = 2,5 s

Відповідь

t = 2,5 s
2.Кінематика

Відповідь: s = 74,67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a1·t1 = 1·4 = 4 m/s

Шлях на кожному етапі

s1 = ½·1·4² = 8 m
s2 = 4·16 = 64 m
s3 = 4²/(2·3) = 2,667 m

Повна відстань

s = 8 + 64 + 2,667 = 74,67 m

Відповідь

s = 74,67 m
3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,355 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Відповідь

a = 3,355 m/s²
4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,158 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (49,05 − 22,07)/12,5 = 2,158 m/s²

Відповідь

a = 2,158 m/s²
5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 3,42 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

vx = v0·cos θ = 10·cos 55° = 5,736 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 55° = 8,192 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: vy² = 2gH.

H = vy²/(2g) = 8,192²/(2·9,81) = 3,42 m

Відповідь

H = 3,42 m
6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 62,61 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

vx = 12·cos 45° = 8,485 m/s
vy0 = 12·sin 45° = 8,485 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

vy = √(8,485² + 2·9,81·10) = 16,38 m/s

Кут удару

tan α = vy/vx = 16,38/8,485 → α = 62,61°

Відповідь

α = 62,61°
7.Рух по колу

Відповідь: N = 10104 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r
N = 1100·9,81 − 1100·5²/40 = 10791 − 687,5 = 10104 N

Відповідь

N = 10104 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: Ttop = 15,56 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

vtop² = 9,5² − 4·9,81·1,5 = 31,39 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·vtop²/r
T = 1,4·31,39/1,5 − 1,4·9,81 = 15,56 N

Відповідь

Ttop = 15,56 N
9.Робота й енергія

Відповідь: P = 11,21 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N
mg·sin θ = 11772·sin 4° = 821,2 N
F = 821,2 + 300 = 1121 N

Потужність

v = 36/3,6 = 10 m/s
P = F·v = 1121·10 = 11212 W = 11,21 kW

Відповідь

P = 11,21 kW
10.Робота й енергія

Відповідь: x = 34,13 cm

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,2·3) = 46,6 J

Найбільше стиснення

½kx² = 46,6 → x = √(2·46,6/800) = 0,3413 m = 34,13 cm

Відповідь

x = 34,13 cm
11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′1 = −2,333 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′1 = (0,5 − 4)/(0,5 + 4)·3 = −2,333 m/s
v′2 = 2·0,5/(0,5 + 4)·3 = 0,6667 m/s

Відповідь

v′1 = −2,333 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 17,05 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,55·(20 + 11) = 17,05 N·s

Відповідь

J = 17,05 N·s
13.Пружини й маятники

Відповідь: x = 8,872 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(80/0,5) = 12,65 rad/s
ω·t = 12,65·0,05 = 0,6325 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 11·cos(0,6325) = 8,872 cm

Відповідь

x = 8,872 cm
14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,138 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·230·0,04² = 0,184 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·230·0,02² = 0,046 J

Кінетична енергія

K = 0,184 − 0,046 = 0,138 J

Відповідь

K = 0,138 J

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice