Тренувальні задачі AP Physics 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 54 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 19 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 19 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 0,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3 kgm₂ = 0,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 40 m/s, і він має впасти на відстані 130 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 40 m/sR = 130 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 120 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 120 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 50 m має нахил полотна 18°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 50 mθ = 18°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 11 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,3d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,15). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 6 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0,15d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 19 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 21 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 13 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 33 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 6 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 19 kgu = 21 m/sm₁ = 13 kgv′₁ = 33 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,35 kg ударяється об стіну зі швидкістю 27 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 20 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,35 kgv_in = 27 m/sv_out = 20 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,8 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,6 kg на пружині з k = 220 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 2,6 kgk = 220 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 3 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/5 = 3 s

Відповідь

t = 3 s

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 58,4 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

Висота над землею

h_max = 40 + 18,4 = 58,4 m

Відповідь

h_max = 58,4 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,356 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Відповідь

a = 2,356 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 4,625 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4,905 − 2,943)/3,5 = 0,5606 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·0,5606 + 2,943 = 4,625 N

Відповідь

T = 4,625 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 26,43 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·130/40² = 0,7971

Кут

2θ = 52,85° → θ = 26,43°

Відповідь

θ = 26,43°

Інший розв’язок 90° − θ = 63,57°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 46,84 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 5,917·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,917 + √(35,01 + 882,9))/9,81 = 3,692 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,69·3,692 = 46,84 m

Відповідь

x = 46,84 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 28,71 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·120) = 28,71 m/s

Відповідь

v_max = 28,71 m/s (103,3 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 16,59 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(50·9,81·0,4992/0,8893) = 16,59 m/s

Відповідь

v_max = 16,59 m/s

(59,74 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 228,9 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,7071 = 69,37 N

F = μN = 0,3·69,37 = 20,81 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 20,81·11 = 228,9 J

Відповідь

W_f = 228,9 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,603 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 58,86·2 = 117,7 J

μ·m₁g·d = 0,15·39,24·2 = 11,77 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 105,9 → v = √(2·105,9/10) = 4,603 m/s

Відповідь

v = 4,603 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 19·21 = 399 kg·m/s

Імпульс після удару

399 = 13·33 + 6·v′₂

v′₂ = (399 − 429)/6 = −5 m/s

Відповідь

v′₂ = −5 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 822,5 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,35·(20 + 27) = 16,45 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 16,45/0,02 = 822,5 N

Відповідь

F_avg = 822,5 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,357 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,8/9,81) = 3,357 s

Відповідь

T = 3,357 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,104 m/s

Кутова частота

ω = √(220/2,6) = 9,199 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,12·9,199 = 1,104 m/s

Відповідь

v_max = 1,104 m/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice