Тренувальні задачі AP Statistics: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 34, 19, 59, 31.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 110?

μ = 100σ = 8x = 110

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,2, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 247,75 і 260 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,75x₂ = 260

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

7.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

8.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 63?

n = 6ŷ = 63

x =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 85,5 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 85,5s = 4,595%t(8) = 2,306

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 73,5 kg, стандартне відхилення 2,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 72 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 73,5s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 72s₂ = 695%t(12) = 2,179

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 10. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 52,44. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 10n = 100x̄ = 52,44H₁: μ > μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ > 200 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 204,25. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 200μ = 204,25σ = 15n = 36α = 0,10

β = %

13.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 2

χ² =

14.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,71

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 192/5 = 38,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,6² + (−4,4)² + (−19,4)² + 20,6² + (−7,4)² = 987,2

Стандартне відхилення

s = √(987,2/4) = 15,71

Відповідь

s = 15,71

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Відповідь

P = 0,8944

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 5,71

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,25 + 2·0,2 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,3

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,2 + 16·0,2 + 36·0,35 = 16,6

Дисперсія

Var(X) = 16,6 − 3,3² = 5,71

Відповідь

Var(X) = 5,71

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,6554

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Додайте

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6509

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (247,75 − 250)/5 = −0,45

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−0,45) = 0,9772 − 0,3264 = 0,6509

Відповідь

P = 0,6509

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 27,95 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Відповідь

x = 27,95 min

7.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9418

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 363/5 = 72,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 749,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 168²/(40·749,2) = 0,9418

Відповідь

r² = 0,9418

Близько 94,18% варіації y пояснюється прямою.

8.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 6,444

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 326/6 = 54,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

Лінія регресії

b = 78/17,5 = 4,457

a = 54,33 − 4,457·4,5 = 34,28

ŷ = 34,28 + 4,457·x

Розв’яжіть щодо x

x = (63 − 34,28)/4,457 = 6,444

Відповідь

x = 6,444

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 88,96

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·4,5/√9 = 3,459

Інтервал

85,5 ± 3,459 → [82,04, 88,96]

Відповідь

верхня межа = 88,96

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −3,853 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (6·2,5² + 6·6²)/12 = 21,13

s_p = 4,596

Похибка оцінки

E = 2,179·4,596·√(1/7 + 1/7) = 5,353

Інтервал

1,5 ± 5,353 → [−3,853, 6,853]

Відповідь

нижня межа = −3,853 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,007344

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (52,44 − 50)/1 = 2,44

Площа хвоста

Φ(2,44) = 0,9927

1 − Φ(2,44) = 0,0073

p-значення

p = 0,007344

Відповідь

p = 0,007344

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 33,8 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 200 + 1,282·2,5 = 203,2

z при справжньому середньому

z = (203,2 − 204,25)/2,5 = −0,418

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,418) = 66,2%

β = 100% − 66,2% = 33,8%

Відповідь

β = 33,8%

13.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,1786

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 40·36/120 = 12, 40·84/120 = 28

некурці: 80·36/120 = 24, 80·84/120 = 56

Статистика хі-квадрат

χ² = (13 − 12)²/12 + (27 − 28)²/28 + (23 − 24)²/24 + (57 − 56)²/56

χ² = 0,1786

Відповідь

χ² = 0,1786

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

14.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 6,806

Очікувані частоти

лінія 1: 24, 36

лінія 2: 16, 24

лінія 3: 24, 36

Статистика хі-квадрат

χ² = (17 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (16 − 16)²/16 + (24 − 24)²/24 + (31 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36

χ² = 6,806

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

6,806 > 5,991

Відповідь

χ² = 6,806

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice