Тренувальні задачі AP Statistics: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 27, 56, 37, 23, 27, 49.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 158?

μ = 170σ = 12x = 158

P =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 5

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 8p = 0,2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,2434. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,2434

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

8.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 82?

n = 6ŷ = 82

x =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 11,5 і стандартне відхилення s = 20. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 11,5s = 2099%t(14) = 2,977

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,7 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?

p ≈ 0,7E = 0,0395%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 6. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 48,62. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 6n = 36x̄ = 48,62H₁: μ < μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 90 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 59 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 300x₂ = 59n₂ = 150

z =

13.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «денна зміна, незначний».

сума рядка = 38сума стовпця = 28N = 92

E =

14.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,49

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 249/7 = 35,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,571)² + (−8,571)² + 20,43² + 1,429² + (−12,57)² + (−8,571)² + 13,43² = 935,7

Стандартне відхилення

s = √(935,7/6) = 12,49

Відповідь

s = 12,49

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5981

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Відповідь

P = 0,5981

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,5033

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,8⁸ = 0,1678

P(X = 1) = 8·0,2·0,8⁷ = 0,3355

Додайте

P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033

Відповідь

P = 0,5033

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,31

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,2434)/2 = 0,6217

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6217 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,31

Відповідь

z = 0,31

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9099

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Відповідь

P = 0,9099

7.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9947

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 178/6 = 29,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1275

Коефіцієнт детермінації

r² = 298²/(70·1275) = 0,9947

Відповідь

r² = 0,9947

Близько 99,47% варіації y пояснюється прямою.

8.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 19,25

Середні

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 483/6 = 80,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 413

Лінія регресії

b = 413/70 = 5,9

a = 80,5 − 5,9·19 = −31,6

ŷ = −31,6 + 5,9·x

Розв’яжіть щодо x

x = (82 − (−31,6))/5,9 = 19,25

Відповідь

x = 19,25

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 15,37

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·20/√15 = 15,37

Відповідь

E = 15,37

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 897

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,7·0,3/0,03² = 896,4

Округліть угору

n = 897

Відповідь

n = 897

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,08379

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (48,62 − 50)/1 = −1,38

Площа хвоста

Φ(1,38) = 0,9162

1 − Φ(1,38) = 0,0838

p-значення

p = 0,08379

Відповідь

p = 0,08379

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,983

Вибіркові частки

p̂₁ = 90/300 = 0,3

p̂₂ = 59/150 = 0,3933

p̂ = 149/450 = 0,3311

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,3311·0,6689·(1/300 + 1/150)) = 0,04706

Статистика критерію

z = (0,3 − 0,3933)/0,04706 = −1,983

Відповідь

z = −1,983

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 11,57

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 38·28/92 = 11,57

Відповідь

E = 11,57

14.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,5382

Очікувані частоти

лінія 1: 24, 16

лінія 2: 36, 24

лінія 3: 48, 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16 + (35 − 36)²/36 + (25 − 24)²/24 + (47 − 48)²/48 + (33 − 32)²/32

χ² = 0,5382

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

0,5382 < 9,210

Відповідь

χ² = 0,5382

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice