Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (−4x² + 3x − 5)/(x² + 6x + 4).

f(x) = (−4x² + 3x − 5)/(x² + 6x + 4)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (−2x − 1)⁴. Знайдіть f′(0).

f(x) = (−2x − 1)⁴x = 0

f′(0) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 1,5x² − 6x − 3. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ + 1,5x² − 6x − 3

x =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 108000 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть висоту h.

V = 108000 cm³

h = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 180 − 0,5q євро за одиницю, а витрати C(q) = 1400 + 95q євро. Знайдіть ціну p, що максимізує прибуток.

p = 180 − 0,5qC = 1400 + 95q

p = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁³ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 3]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −4

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(−4 + 3/x + (−5)/x²)/(1 + 6/x + 4/x²)

Нехай x → ∞

L = −4/1 = −4

Відповідь

L = −4

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 0,6667

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Підставте x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Відповідь

L = 0,6667

3.Похідні

Відповідь: f′(0) = 8

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 4·(−2x − 1)³·(−2)

Підставте

f′(0) = 4·(−1)³·(−2) = 8

Відповідь

f′(0) = 8

4.Похідні

Відповідь: x = −2

Похідна

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −2 або x = 1

Що є що

f″(x) = 6x + 3: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = −2

Відповідь

x = −2

5.Оптимізація

Відповідь: h = 30 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 432000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Висота й площа

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Відповідь

h = 30 cm

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: p = 137,5 €

Функція прибутку

P(q) = (180 − 0,5q)·q − (1400 + 95q) = −0,5q² + 85q − 1400

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −1 < 0, тож це максимум.

q = 85/1 = 85

Ціна й прибуток

p = 180 − 0,5·85 = €137,5

P = 85·85 − 0,5·85² − 1400 = €2213

Відповідь

p = €137,5

7.Інтеграли

Відповідь: I = 3,296

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 3 − ln 1) = 3·ln 3 = 3,296

Відповідь

I = 3,296

8.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1