Математичний аналіз 1: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Похідні й інтеграли: правила диференціювання, застосування, як-от дотичні й оптимізація, і основні методи інтегрування.

Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

  1. Границіпряма підстановка й розкладання на множники · границі на нескінченності · Правило Лопіталярозрахунки
  2. Похідністепеневе правило · ланцюгове правило і правило добутку · дотичні та екстремумирозрахунки
  3. Оптимізаціямаксимальна площа або об’єм · мінімальна вартість або витрата матеріалу · прибуток і виручкарозрахунки
  4. Інтегралимногочлени · експоненти, логарифми й заміна змінної · площі між кривимирозрахунки

Поради до іспиту: Математичний аналіз 1

  • Записуйте правило ланцюжка повністю: похідна зовнішньої функції, помножена на похідну внутрішньої.
  • Перевіряйте інтеграл, диференціюючи свою відповідь.
  • У визначеному інтегралі заміна змінної змінює й межі інтегрування.

Розв’язані приклади

ГраниціЛегка
xyx = 1

Знайдіть границю L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Знайти: L

Показати підказки
  1. Підстановка дає 0/0. Розкладіть чисельник на множники.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Спробуйте пряму підстановку

чисельник → 0 і знаменник → 0, тож маємо невизначеність 0/0.

Розкладіть на множники й скоротіть

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Підставте

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Відповідь

L = 4

Це похідна xⁿ у точці x = a: n·aⁿ⁻¹.

ПохідніСередня
xyx = 1

Нехай f(x) = x3·e−x. Знайдіть f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Знайти: f′(1)

Показати підказки
  1. Правило добутку з u = x3 і v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Підставте

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Відповідь

f′(1) = 0,7358

Як проходить тренування

  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор похідної з крокамиКалькулятор інтегралів (визначених і невизначених)

Пов’язані курси

Тренувальні задачі AP CalculusВища математикаДиференціальні рівнянняІнженерна математика 2Математичний аналіз 2Основи статистикиСтатистика 2: Статистичне висновуванняЧисельні методи
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.