Безкоштовні задачі з теми Оптимізація з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: максимальна площа або об’єм, мінімальна вартість або витрата матеріалу, прибуток і виручка.
Безкоштовна задачаЛегка
Фермер має 240 m огорожі, щоб огородити прямокутне поле вздовж прямої річки. Уздовж річки огорожа не потрібна. Знайдіть найбільшу площу A, яку можна огородити.
Оптимізація означає пошук найкращого значення: найбільшої площі для заданої довжини огорожі, найменшої кількості металу для банки або найвищого прибутку.
Величина, яку ви хочете зробити якомога більшою чи меншою, залежить від однієї змінної, наприклад ширини x поля.
Уявіть її графік. На вершині пагорба й на дні долини графік на мить плоский. Тож нахил там нульовий.
Це ключова ідея: у максимумі чи мінімумі похідна дорівнює 0. Найкраще x ви знаходите, розв’язуючи Q′(x) = 0.
Самоперевірка Площа A(x) поля має найбільше значення за x = 12. Чому дорівнює A′(12)?
0
Від’ємне число
Додатне число
Те саме, що A(12)
Відповідь: 0. На вершині графіка дотична горизонтальна, тож нахил дорівнює 0. Додатний нахил означав би, що площа ще зростає.
2Мета й обмеження
Кожна задача оптимізації має дві частини. Назвіть їх, перш ніж щось обчислювати.
Мета: величина, яку треба максимізувати чи мінімізувати, як-от площа A або вартість C.
Обмеження: фіксована умова, як-от загальна довжина огорожі або об’єм, який має вміщувати банка.
Мета зазвичай має дві змінні, наприклад A = x · y. Диференціювати це поки що не можна.
Використайте обмеження, щоб виразити y через x. Тоді мета залежить лише від x.
Приклад: прямокутник із периметром 20 m має 2x + 2y = 20, тож y = 10 − x і A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Спершу намалюйте ескіз і підпишіть на ньому кожну довжину. Більшість помилок трапляється в обмеженні.
Самоперевірка Поле вздовж річки огороджують із трьох боків 40 m: дві сторони завдовжки x і одна сторона y, паралельна річці. Яке обмеження?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Відповідь: 2x + y = 40. Є три огорожі: x, x і y. Бік уздовж річки не потребує огорожі. 2x + 2y було б повним прямокутником із чотирма огородженими боками.
3Задачі про витрати й прибуток
У бізнес-задачах мета — це прибуток: виручка мінус витрати.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Тут q — кількість проданих одиниць, а p — ціна за одиницю. Якщо ціна залежить від q, спершу підставте цю формулу в R.
Приклад: ціна p = 60 − q, а витрати C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Тоді найкраща ціна p = 60 − 15 = €45. Уважно читайте запитання: воно може питати про q, p або сам прибуток P.
Самоперевірка Продукт продається по €40 за одиницю. Витрати на q одиниць становлять C = 100 + 10q + 0,5q² євро. Який випуск q дає найвищий прибуток?
15
30
40
60
Відповідь: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², тож P′ = 30 − q = 0 і q = 30. Якщо забути 2 при диференціюванні 0,5q², вийде 60.
4Метод крок за кроком
Намалюйте ескіз і назвіть змінні.
Запишіть мету Q (площа, вартість, прибуток) та обмеження.
Використайте обмеження, щоб записати Q як функцію однієї змінної, Q(x).
Продиференціюйте й розв’яжіть Q′(x) = 0.
Перевірте, що це точка потрібного типу: Q″ < 0 для максимуму, Q″ > 0 для мінімуму.
Дайте відповідь на поставлене запитання: x, інша сторона або найкраще значення самої Q, з одиницями.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Фермер має 60 m огорожі для прямокутного поля вздовж прямої річки. Уздовж річки огорожа не потрібна. Знайдіть сторону y, паралельну річці, і найбільшу площу A.
1
Ескіз і обмеження
Річка зверху, тож огорожа потрібна лише з трьох боків: двох сторін x і однієї сторони y.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Площа через одну змінну
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Прирівняйте похідну до нуля
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
Чи це максимум?
A″(x) = −4 < 0
Друга похідна від’ємна, тож x = 15 m дає найбільшу площу.
5
Інша сторона й площа
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Перевірте відповідь
Спробуйте значення з кожного боку. x = 14 дає 14 · 32 = 448 m², а x = 16 дає 16 · 28 = 448 m². Обидва менші за 450 m².
Відповідь
y = 30 m, а найбільша площа дорівнює A = 450 m².
6Типові помилки
Давати відповідь для неправильної величини: запитання питає про y, а ви даєте x.
Диференціювати мету, що ще має дві змінні. Спершу використайте обмеження.
Записувати неправильне обмеження, наприклад огороджувати й бік уздовж річки.
Не перевіряти, чи точка є максимумом чи мінімумом.
Забувати одиниці або давати площу в m замість m².
Самоперевірка З 40 m огорожі вздовж річки (2x + y = 40) найкраща ширина x = 10 m. Запитання просить сторону y, паралельну річці. Що ви відповісте?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Відповідь: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Відповідь 10 m дає x замість y, а 200 m² — це площа, а не сторона.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкий: максимальна площа чи об’єм, як-от поле вздовж річки або загін, розділений додатковою огорожею.
Середній: мінімальна вартість чи матеріал, як-от закрита банка (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) або огорожа з двома цінами за метр.
Складний: прибуток і виручка. Складіть P = R − C, розв’яжіть P′(q) = 0, потім знайдіть ціну або максимальний прибуток.
Швидка перевірка: підставте в Q значення трохи вище й трохи нижче за вашу відповідь. Обидва мають бути гіршими.
Відкриту коробку виготовляють з квадратного аркуша картону 18 cm × 18 cm, вирізаючи з чотирьох кутів однакові квадрати зі стороною x і загинаючи бічні стінки. Знайдіть найбільший можливий об’єм V.
18 cm × 18 cm
Знайти: V(cm³)
Показати підказки
Дно має розміри (18 − 2x) на (18 − 2x), а висота дорівнює x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Сенс має лише корінь з 0 < x < 9.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.
Об’єм як функція x
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Прирівняйте похідну до нуля
Більший корінь дає сторону дна ≤ 0, тож він поза допустимим проміжком.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 або x = 9
x = 3 cm
Об’єм
V = 3·12·12 = 432 cm³
Відповідь
V = 432 cm³
Приклад 2Середня
Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 400 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть найменшу можливу площу поверхні A.
V = 400 cm³
Знайти: A(cm²)
Показати підказки
Виключіть h за допомогою об’єму: πr²h = 400, тож h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.
Площа як функція r
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Прирівняйте похідну до нуля
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, тож це мінімум.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Висота й площа
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Відповідь
A = 300,5 cm²
Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.
Приклад 3Складна
Театр продає 580 квитків на виставу по €10. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 20 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 20 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.
Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.
Виручка як функція ціни
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Прирівняйте похідну до нуля
R″(p) = −40 < 0, тож це максимум.
p = 780/40 = €19,5
Максимальна виручка
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Відповідь
R = €7605
Запитання й відповіді
Оптимізація: що це?
Оптимізація означає пошук найкращого значення: найбільшої площі для заданої довжини огорожі, найменшої кількості металу для банки або найвищого прибутку.
Величина, яку ви хочете зробити якомога більшою чи меншою, залежить від однієї змінної, наприклад ширини x поля.
Оптимізація: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.
Оптимізація: які помилки найпоширеніші?
Кожна сторона дна втрачає квадрат з обох кінців, тож сторони дна a − 2x і b − 2x, а не a − x і b − x.
Банка закрита: враховуйте і верх, і дно, A = 2πr² + 2πrh.
Це виручка за поточної ціни. Спершу знайдіть ціну, за якої R′(p) = 0.
Оптимізація: що ви тренуєте?
Легка: максимальна площа або об’єм
Середня: мінімальна вартість або витрата матеріалу
Складна: прибуток і виручка
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.