Нормальний розподіл: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: розподіл Гаусса · стандартний нормальний розподіл · функція Лапласа

Безкоштовні задачі з теми Нормальний розподіл з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: площа в одному хвості, площа між двома значеннями, процентилі.

Безкоштовна задачаЛегка
μ = 6567,5P = ?

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень більша за 67,5 балів? Знайдіть P(X > x) у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Нормальний розподілТренуйтеся зараз: Нормальний розподілБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаплоща в одному хвості
  2. Середняплоща між двома значеннями
  3. Складнапроцентилі

Як розв’язувати задачі на тему «Нормальний розподіл»

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Типові помилки

  • Читають таблицю не для того хвоста.
  • Забувають поділити на σ.
  • Беруть знак z навпаки для процентилів нижче 50%.

Основні формули

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Вивчайте тему «Нормальний розподіл» з нуля

Перед цим: Описова статистика

1Дзвоноподібна крива

Багато величин, як-от зріст, оцінки IQ чи маса пачок з автомата, підкоряються нормальному розподілу. Більшість значень лежить поблизу середини, а далекі значення рідкісні.

Графік — симетричний дзвін. Він має два числа: середнє μ, де вершина, і стандартне відхилення σ, що задає ширину.

7085100μ115130

Ключова ідея: імовірність — це площа під кривою. Загальна площа дорівнює 1. Заштрихована ліва половина має площу 0,5, тож половина всіх значень лежить нижче за середнє.

Близько 68% значень лежить в межах одного σ від середнього, а близько 95% — в межах двох σ.

Самоперевірка Маса пачок нормально розподілена із середнім 500 g. Яка частка пачок важить менше за 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Це залежить від σ

Відповідь: 0,5. Крива симетрична відносно середнього, тож рівно половина площі лежить нижче за μ, яким би не було σ. 0,68 — це площа в межах одного σ з обох боків.

2z-оцінки та таблиця

Кожен нормальний розподіл стає тією самою стандартною нормальною кривою (середнє 0, σ = 1), коли перетворити значення x на z-оцінку:

z = (x − μ) / σ

Таблиця дає Φ(z): площу ліворуч від z. Наприклад, Φ(1,2) = 0,8849, тож 88,49% значень лежить нижче за z = 1,2.

  • Нижче за x: P(X < x) = Φ(z).
  • Вище за x: P(X > x) = 1 − Φ(z), бо загальна площа дорівнює 1.
  • Для від’ємного z: Φ(−z) = 1 − Φ(z), за симетрією. Тож Φ(−1,2) = 0,1151.

Значення, які ви часто зустрічатимете: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Самоперевірка Φ(1,2) = 0,8849. Чому дорівнює P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Відповідь: 0,1151. Таблиця дає площу ліворуч. Площа праворуч дорівнює 1 − 0,8849 = 0,1151. Пряме використання 0,8849 читає не той хвіст.

3Між двома значеннями та процентилі

Для площі між двома значеннями віднімайте дві ліві площі: усе нижче за верхнє значення мінус усе нижче за нижнє значення.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Процентиль працює у зворотному напрямку. 90-й процентиль — це значення, ліворуч від якого 90% площі.

  • Знайдіть z, для якого Φ(z) дорівнює площі. Для 90%, z = 1,2816. Для 80%, z = 0,8416.
  • Перетворіть назад у x: x = μ + z · σ.

Для процентиля нижче за 50% z від’ємне. 10-й процентиль має z = −1,2816.

Самоперевірка Оцінки IQ нормальні з μ = 100 і σ = 15. z для 80-го процентиля дорівнює 0,8416. Чому дорівнює 80-й процентиль?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Відповідь: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Знак мінус дає 87,4, тобто 20-й процентиль; 100,8 забуває помножити на σ.

4Метод крок за кроком

  1. Накресліть дзвоноподібну криву, позначте μ і значення та заштрихуйте площу, яку запитано.
  2. Перетворіть кожне значення на z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  3. Знайдіть за таблицею Φ(z) — площу ліворуч.
  4. Нижче: Φ(z). Вище: 1 − Φ(z). Між: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Для процентиля йдіть у зворотному напрямку: площа → z → x = μ + zσ.
  6. Порівняйте зі своїм ескізом: заштрихована площа менша за половину має дати число нижче за 0,5.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Оцінки IQ нормально розподілені із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P лежить між 91 і 121?

1

Накресліть площу

91x₁100121x₂

Заштрихована площа охоплює середину й більше правого боку. Очікуйте число трохи вище за 0,5.

2

Нижня z-оцінка

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Верхня z-оцінка

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Знайдіть обидві площі

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Відніміть

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Це трохи вище за 0,5, як і передбачав ескіз.

Відповідь

P ≈ 0,645: близько 64,5% оцінок лежить між 91 і 121.

6Типові помилки

  • Читати не той хвіст: використовувати Φ(z), коли запитано площу вище за x.
  • Забути поділити на σ у z-оцінці.
  • Додавати дві ліві площі для інтервалу замість того, щоб віднімати.
  • Використовувати неправильний знак z для процентиля нижче за 50%.
  • Плутати σ і дисперсію σ². Ділити треба на σ, стандартне відхилення.
Самоперевірка Екзаменаційні бали нормальні з μ = 65 і σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Яка частка набирає більше за 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Відповідь: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, і P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 — це площа нижче за 50: не той хвіст. Більшість студентів набирає більше за 50, тож відповідь має бути великою.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: площа в одному хвості. Знайдіть P(X < x) або P(X > x) за однією z-оцінкою.
  • Середньо: площа між двома значеннями, Φ(z₂) − Φ(z₁), як у прикладі.
  • Складно: процентилі. Знайдіть значення, нижче за яке лежить 80% або 90% даних.

Завжди спершу робіть ескіз. Десятисекундний ескіз ловить більшість помилок із хвостами.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
μ = 3236,8P = ?

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень більша за 36,8 min? Знайдіть P(X > x) у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Знайти: P(X > x)

Показати підказки
  1. Переведіть у z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінка

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

Це 21,19 %.

Приклад 2Середня
750 g769,7 gX + Y?

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 769,7 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Знайти: P

Показати підказки
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275
Приклад 3Складна
μ = 178x = ?20%

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 20%

Знайти: x (cm)

Показати підказки
  1. Дійте у зворотному порядку: знайдіть за таблицею z, за якого Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Потім x = μ + z·σ.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Відповідь

x = 172,11 cm

Запитання й відповіді

Нормальний розподіл: що це?

Багато величин, як-от зріст, оцінки IQ чи маса пачок з автомата, підкоряються нормальному розподілу. Більшість значень лежить поблизу середини, а далекі значення рідкісні.

Графік — симетричний дзвін. Він має два числа: середнє μ, де вершина, і стандартне відхилення σ, що задає ширину.

Нормальний розподіл: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Нормальний розподіл: які помилки найпоширеніші?
  • Читають таблицю не для того хвоста.
  • Забувають поділити на σ.
  • Беруть знак z навпаки для процентилів нижче 50%.
Нормальний розподіл: що ви тренуєте?
  • Легка: площа в одному хвості
  • Середня: площа між двома значеннями
  • Складна: процентилі

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Описова статистика

Далі

Довірчі інтервали

Калькулятори

Калькулятор z-оцінки й нормальної ймовірностіКалькулятор нормального розподілу

Курси з цією темою

Методи досліджень і статистика в психологіїОснови статистикиВища математикаСтатистика 2: Статистичне висновуванняПідготовка до іспиту FE CivilТренувальні задачі AP StatisticsТренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиПослідовності та рядиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихДиференціальні рівнянняКомплексні числаЧисельні методиМатриці та визначникиВектори: скалярний і векторний добуткиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаДовірчі інтервалиПеревірка гіпотез і довірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляціяКритерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Нормальний розподіл» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Нормальний розподілТренуйтеся зараз: Нормальний розподілБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.