Калькулятор нормального розподілу
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Ці значення надто екстремальні для обчислення.
Знаходьте ймовірності для будь-якого нормального розподілу N(μ, σ²): площу ліворуч чи праворуч від значення, між двома значеннями або в обох хвостах. Обернені режими йдуть від площі до значення x, так знаходять процентилі та порогові бали. Кожна відповідь показує використані z-значення та Φ, тож їх можна звірити із таблицею стандартного нормального розподілу.
Покроковий розв’язок
Основні формули
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Як знайти ймовірність нормального розподілу
- Запишіть середнє μ і стандартне відхилення σ. Якщо дано дисперсію σ², спершу візьміть з неї квадратний корінь.
- Стандартизуйте кожне значення за формулою z = (x − μ)/σ. z-значення показує, на скільки стандартних відхилень значення лежить вище або нижче за середнє.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z під стандартною нормальною кривою — за таблицею або на калькуляторі.
- Об’єднайте площі: P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z) і P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Щоб піти від площі до значення, знайдіть z, для якого Φ(z) дорівнює площі лівого хвоста, і поверніться до x за формулою x = μ + z·σ.
Запитання й відповіді
Чим відрізняється P(X < a) від P(X ≤ a)?
Для неперервного розподілу, як-от нормальний, різниці немає. Ймовірність одного точного значення дорівнює нулю, тому P(X < a) = P(X ≤ a). Для дискретних розподілів, як-от біноміальний і Пуассона, це інакше.
Як знайти процентиль нормального розподілу?
Скористайтеся оберненим режимом із площею лівого хвоста. 90-й процентиль — це значення x, для якого P(X < x) = 0,90: z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816, отже x = μ + 1,2816σ. Для порогу «верхні 10%» візьміть площу правого хвоста 0,10 — вийде те саме значення.
Що говорить правило 68–95–99,7?
Близько 68% нормального розподілу лежить в межах одного стандартного відхилення від середнього, близько 95% — у межах двох (точніше, 1,96σ), а близько 99,7% — у межах трьох. Це швидкий спосіб перевірити, чи відповідь у правильних межах.
Чому моя таблиця z дає трохи іншу відповідь?
Друкована таблиця округлює z до двох знаків після коми, а Φ(z) — до чотирьох. Калькулятор обчислює Φ чисельно, значно точніше за друковану z-таблицю, зокрема й далеко на хвостах, і показує результат із 4 значущими цифрами, тож відповіді за таблицею можуть відрізнятися в останній цифрі.
Коли можна застосувати нормальний розподіл до біноміальної задачі?
Коли np та n(1 − p) обидва не менші за приблизно 10, біноміальний розподіл близький до нормального з μ = np та σ = √(np(1 − p)). Додайте або відніміть 0,5 на межі (поправка на неперервність). Для точної відповіді скористайтеся калькулятором біноміального розподілу.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Нормальний розподіл»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.