Калькулятор біноміального розподілу
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Обчислюйте біноміальні ймовірності для n незалежних випробувань, у кожному з яких успіх настає з імовірністю p: рівно x успіхів, щонайбільше x, щонайменше x, менше за x або більше за x. Калькулятор показує біноміальну формулу, кожен доданок суми (або коротше доповнення), середнє np та стандартне відхилення √(np(1 − p)). Для n до 30 також виводиться увесь розподіл у таблиці.
Покроковий розв’язок
Формула біноміальної ймовірності
Додайте ймовірності
Середнє та стандартне відхилення
Основні формули
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
Як обчислювати біноміальні ймовірності
- Переконайтеся, що ситуація біноміальна: фіксована кількість випробувань n, два результати в кожному, однакова ймовірність успіху p щоразу й незалежні випробування.
- Для рівно x успіхів використовуйте P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, де C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) рахує порядки, у яких можуть настати успіхи.
- Для «щонайбільше x» додайте P(X = 0) аж до P(X = x). Для «щонайменше x» додайте P(X = x) аж до P(X = n).
- Якщо в сумі багато доданків, скористайтеся доповненням: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Уважно перекладайте слова: «менше за 4» — це X ≤ 3, а «більше за 4» — це X ≥ 5.
Запитання й відповіді
Яке середнє та стандартне відхилення біноміального розподілу?
Середнє μ = np, а дисперсія σ² = np(1 − p), тож стандартне відхилення σ = √(np(1 − p)). Для n = 10 і p = 0,3 це дає μ = 3 і σ = 1,449.
Чим відрізняються «щонайменше» і «більше за»?
«Щонайменше 3» включає 3: P(X ≥ 3). «Більше за 3» не включає: P(X > 3) = P(X ≥ 4). Для дискретного розподілу це різні числа, тож обирайте варіант, що відповідає формулюванню запитання.
Чому калькулятор іноді використовує доповнення?
Оскільки всі ймовірності в сумі дають 1, P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Коли в доповненні менше доданків, вручну так швидше, і кроки показують саме цей шлях. Результат той самий.
Яким може бути n?
До 10 000 випробувань. Доданки обчислюються через логарифми, тому великі факторіали не переповнюються, а ймовірності залишаються точними.
Коли біноміальний розподіл не є слушною моделлю?
Коли випробування не незалежні або p змінюється, наприклад при виборі без повернення з малої групи: це гіпергеометричний розподіл. Коли n велике, а p мале, добрим наближенням є розподіл Пуассона з λ = np.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Імовірність»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.