Імовірність: задачі з покроковими розв’язками

Q: Імовірність: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Q: Імовірність: що ви тренуєте?

Легка: рівноможливі наслідки Середня: підрахунок і протилежні події Складна: біноміальний розподіл Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: ймовірність · теорія ймовірностей · умовна ймовірність

Безкоштовні задачі з теми Імовірність з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: рівноможливі наслідки, підрахунок і протилежні події, біноміальний розподіл.

Безкоштовна задачаЛегка

Кидають два правильні кубики. Яка ймовірність P, що сума становитиме щонайменше 4?

2 кубики≥ 4

Вкажіть імовірність десятковим дробом від 0 до 1.

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Імовірність Тренуйтеся зараз: ІмовірністьБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкарівноможливі наслідки
Середняпідрахунок і протилежні події
Складнабіноміальний розподіл

Основні формули

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Вивчайте тему «Імовірність» з нуля

1Що таке ймовірність

Ймовірність — це число від 0 до 1, що показує, наскільки щось імовірне. 0 означає, що цього ніколи не станеться, 1 — що станеться завжди.

Коли всі наслідки рівноімовірні, порахуйте їх:

P(A) = кількість сприятливих наслідків / загальна кількість наслідків

У мішку 3 червоні, 5 синіх і 2 зелені кулі, разом 10. Якщо витягнути одну навмання, P(синя) = 5/10 = 0,5.

Правильний кубик має 6 граней, тож P(шістка) = 1/6 ≈ 0,167 і P(парне) = 3/6 = 0,5.

Ймовірність можна записати й у відсотках: 0,5 — це 50%. Відповіді на іспиті зазвичай подають десятковими числами від 0 до 1.

Самоперевірка У мішку 2 червоні, 8 синіх і 4 зелені кулі. Ви витягуєте одну навмання. Чому дорівнює P(червона)?

2/12 ≈ 0,167
2/14 ≈ 0,143
2/8 = 0,25
2

Відповідь: 2/14 ≈ 0,143. Куль 2 + 8 + 4 = 14, і 2 з них червоні: 2/14 ≈ 0,143. Ділення на 12 враховує лише інші кулі, але в загальну кількість мають входити й червоні.

2Правила поєднання подій

Доповнення: P(не A) = 1 − P(A). Використовуйте його для запитань «принаймні один»: P(принаймні один) = 1 − P(жодного).
І, незалежні події: множте. Дві правильні монети дають P(два герби) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
Або: P(A або B) = P(A) + P(B) − P(A і B). Віднімайте перетин, щоб не рахувати його двічі.

Витягування без повернення змінює мішок. Після того як ви забрали одну червону кулю, червоних куль стає на одну менше й загалом куль на одну менше.

Для 5 червоних і 4 синіх куль P(дві червоні) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Щоб порахувати групи, де порядок не має значення, використовуйте комбінації. Кількість способів вибрати k предметів з n дорівнює:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Тут n! = n · (n − 1) · … · 1. Отже, C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 комітетів по 4 людини із 6.

Самоперевірка У мішку 5 червоних і 4 сині кулі. Ви витягуєте дві, не повертаючи першу. Чому дорівнює P(обидві червоні)?

0,139
0,278
0,309
0,556

Відповідь: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Використання 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 забуває, що першої червоної кулі вже немає в мішку.

3Біноміальний розподіл

Деякі запитання повторюють те саме випробування n разів: перевірити 5 компонентів, вгадати 8 відповідей, підкинути монету 3 рази. Кожне випробування успішне з ймовірністю p, незалежно від інших.

Кількість успіхів X тоді підкоряється біноміальному розподілу:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

pᵏ: k успіхів.
(1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k невдач.
C(n, k): кількість різних порядків, у яких можуть розташуватися успіхи.

Для «щонайбільше один» додайте P(X = 0) і P(X = 1). Для «принаймні один» використайте 1 − P(X = 0).

Самоперевірка Ви підкидаєте правильну монету 3 рази. Яка ймовірність рівно 2 гербів?

0,125
0,25
0,375
0,667

Відповідь: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Якщо забути C(3, 2), вийде 0,125: це лише один порядок, як-от ГГР, але РГГ і ГРГ теж рахуються.

4Метод крок за кроком

Запишіть, що таке один наслідок і скільки наслідків усього.
Перекладіть слова: «і» означає множити, «або» — додавати (мінус перетин), «не» — 1 − P.
Для «принаймні один» спершу обчисліть доповнення «жодного».
Без повернення: зменшуйте кількості після кожного витягування. Або рахуйте комбінаціями.
Повторювані незалежні випробування зі сталою p: використайте біноміальну формулу.
Перевірте, що відповідь лежить між 0 і 1.

Дерево ймовірностей допомагає, коли є кілька кроків: множте вздовж гілки та додавайте потрібні гілки.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

У мішку 4 червоні й 6 синіх куль. Ви витягуєте дві кулі, не повертаючи першу. Яка ймовірність P того, що принаймні одна з них червона?

Скористайтеся доповненням

«Принаймні одна червона» має три випадки: червона–червона, червона–синя та синя–червона. Протилежне, «жодної червоної», має лише один випадок: синя–синя.

P(хоча б одна червона) = 1 − P(обидві сині)

Перше витягування

Є 6 синіх куль із 10.

P(перша синя) = 6/10

Друге витягування

Однієї синьої кулі вже немає, тож лишається 5 синіх куль із 9.

P(обидві сині) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3

На дереві R — червона куля, а B — синя. Жирна гілка — синя–синя.

Візьміть доповнення

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667

Перевірте відповідь

Порахуйте комбінаціями: є C(10, 2) = 45 пар, і C(6, 2) = 15 з них синя–синя. 15/45 = 1/3, так само, як і раніше.

Три інші гілки дерева теж у сумі дають 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3.

Відповідь

P = 2/3 ≈ 0,667

6Типові помилки

Додавати ймовірності для «принаймні один» замість 1 − P(жодного).
Забувати зменшувати кількості при витягуванні без повернення.
Забувати множник C(n, k) у біноміальній формулі.
Ділити на неправильну загальну кількість, наприклад лише на інші кольори.
Давати ймовірність більшу за 1 або меншу за 0. Це завжди ознака помилки.

Самоперевірка Ви кидаєте правильний кубик двічі. Яка ймовірність принаймні однієї шістки?

1/3 ≈ 0,333
1/36 ≈ 0,028
11/36 ≈ 0,306
25/36 ≈ 0,694

Відповідь: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(жодної шістки) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Додавання 1/6 + 1/6 дає 1/3, що рахує випадок двох шісток двічі.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легко: рівноімовірні наслідки. Одне витягування з мішка кольорових куль або один кидок кубика.
Середньо: підрахунок і доповнення. Комітети через C(n, k) або два витягування без повернення.
Складно: біноміальний розподіл. Рівно k успіхів або «щонайбільше один» як P(X = 0) + P(X = 1).

Подайте відповідь десятковим числом від 0 до 1, округленим до трьох або чотирьох знаків після коми.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Таблиця задає розподіл імовірностей X, але одну імовірність пропущено. Знайдіть P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Знайти: P(X = 1)

Показати підказки

Усі імовірності розподілу в сумі дають 1.
Додайте відомі імовірності.
P = 1 − 0,75.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Сума відомих імовірностей

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Пропущена імовірність

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Відповідь

P(X = 1) = 0,25

Приклад 2Середня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Знайти: Var(X)

Показати підказки

μ = Σx·p(x) = 2,95.
Тоді E(X²) = Σx²·p(x).
Var(X) = E(X²) − μ².

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Середнє

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Дисперсія

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Відповідь

Var(X) = 1,848

Приклад 3Складна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 12p = 0,3k = 5

Знайти: P

Показати підказки

Це біноміальний розподіл: фіксована кількість незалежних випробувань, однакова ймовірність успіху.
P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^n−k.
C(12, 5) = 792.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 792·0,3⁵·0,7⁷ = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Відповідь

P = 0,1585

Запитання й відповіді

Імовірність: що це?

Коли всі наслідки рівноімовірні, порахуйте їх:

Імовірність: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Імовірність: які помилки найпоширеніші?

Це сума відомих імовірностей. Пропущена дорівнює 1 мінус ця сума.
Значення не є рівноімовірними: скористайтеся тим, що всі імовірності в сумі дають 1.
E(X²) — це не дисперсія: відніміть μ².

Імовірність: що ви тренуєте?

Легка: рівноможливі наслідки
Середня: підрахунок і протилежні події
Складна: біноміальний розподіл

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Статистика доказової практики

Калькулятори

Калькулятор біноміального розподілу Калькулятор розподілу Пуассона Калькулятор розміщень і комбінацій (nPr і nCr)Калькулятор математичного сподівання та дисперсії

Курси з цією темою

Методи досліджень і статистика в психології Основи статистики Вища математика Тренувальні задачі AP Statistics Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I

Інші теми: Математика і статистика

Границі Похідні Оптимізація Інтеграли Послідовності та ряди Диференціальне числення функцій багатьох змінних Диференціальні рівняння Комплексні числа Чисельні методи Матриці та визначники Вектори: скалярний і векторний добутки Логіка висловлювань і доведення Множини, відношення та функції Теорія графів Теорія чисел і арифметика за модулем Описова статистика Нормальний розподіл Довірчі інтервали Перевірка гіпотез і довірчі інтервали Лінійна регресія та кореляція Критерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Імовірність» з відповідями

Тренуйтеся безкоштовно: Імовірність Тренуйтеся зараз: ІмовірністьБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.