Похідні: задачі з покроковими розв’язками

Q: Похідні: що ви тренуєте?

Легка: степеневе правило Середня: ланцюгове правило і правило добутку Складна: дотичні та екстремуми Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: знаходження похідної · диференціювання · похідна складної функції

Безкоштовні задачі з теми Похідні з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: степеневе правило, ланцюгове правило і правило добутку, дотичні та екстремуми.

Безкоштовна задачаЛегка

Нехай f(x) = −5x³ + 7x² − 4x + 9. Знайдіть нахил графіка в точці x = −2, тобто f′(−2).

f(x) = −5x³ + 7x² − 4x + 9x = −2

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Похідні Тренуйтеся зараз: ПохідніБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкастепеневе правило
Середняланцюгове правило і правило добутку
Складнадотичні та екстремуми

Як розв’язувати задачі на тему «Похідні»

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Типові помилки

Забувають похідну внутрішньої функції в ланцюговому правилі.
Плутають порядок у правилі частки.
Розглядають сталий множник як добуток.

Основні формули

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Вивчайте тему «Похідні» з нуля

Перед цим: Границі

1Що таке похідна

Похідна вимірює, як швидко щось змінюється. Якщо положення автомобіля змінюється на 50 km щогодини, його швидкість дорівнює 50 km/h: це швидкість зміни положення.

На графіку похідна в точці — це нахил кривої в цій точці: наскільки круто вона піднімається чи опускається, якщо дуже сильно наблизити.

Цей нахил — це нахил дотичної, прямої, що лише торкається кривої в цій точці.

Для y = x² дотична в точці x = 1 має нахил 2. Пишемо f′(1) = 2, читаємо «еф штрих від одиниці».

Додатна похідна: графік іде вгору.
Від’ємна похідна: графік іде вниз.
Нульова похідна: графік у цій точці плаский, наприклад на вершині або на дні.

Самоперевірка У точці, де графік f іде вниз, похідна…

від’ємна
додатна
не існує
нульова

Відповідь: від’ємна. Похідна — це нахил. Графік, що йде вниз зліва направо, має від’ємний нахил.

2Основні правила

Щоразу користуватися границями не потрібно. Кілька правил охоплюють більшість функцій.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Це степеневе правило: винесіть показник степеня наперед і зменште степінь на одиницю. Тож (x³)′ = 3x² і (x)′ = 1.

Стала сама по собі має похідну 0: вона не змінюється.
Сталий множник залишається: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
У сумі беріть похідну кожного доданка окремо.

Вивчіть також: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x і (cos x)′ = −sin x.

Самоперевірка Яка похідна від 4x³ − 2x + 7?

12x² − 2 + 7
12x² − 2
12x³ − 2x
4x² − 2

Відповідь: 12x² − 2. Степеневе правило до кожного доданка: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2, а стала 7 дає 0.

3Правила добутку та складеної функції

Ще два правила працюють для функцій, складених з інших функцій.

Правило добутку — для двох функцій, помножених одна на одну:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Правило складеної функції, коли одна функція стоїть усередині іншої: візьміть похідну зовнішньої, залиште внутрішню як є, потім помножте на похідну внутрішньої.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Правило частки випливає з цих двох: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Самоперевірка Яка похідна від (2x + 5)³?

(2x + 5)² · 2
3(2x + 5)²
6(2x + 5)²
6x(2x + 5)²

Відповідь: 6(2x + 5)². Зовнішня: 3(2x + 5)². Внутрішня: (2x + 5)′ = 2. Множимо: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Забути внутрішню 2 — класична помилка.

4Метод крок за кроком

Подивіться на структуру: сума доданків, добуток, частка чи функція всередині функції.
Спершу перепишіть корені й дроби як степені: √x = x^1/2 і 1/x² = x⁻².
Застосовуйте правила ззовні досередини, по одній частині.
Спростіть результат.
Якщо потрібне значення, підставляйте число лише наприкінці.

Щоб знайти вершину або дно графіка (екстремум), розв’яжіть f′(x) = 0. Друга похідна підказує, який це екстремум: f″ < 0 — максимум, f″ > 0 — мінімум.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Нехай f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Знайдіть нахил при x = 0, а також локальні максимум і мінімум.

Диференціюйте почленно

Застосуйте степеневе правило до кожного доданка. Стала 1 зникає.

f′(x) = 3x² − 12x + 9

Нахил при x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Отже, дотична при x = 0 піднімається на 9 одиниць на кожну одиницю праворуч.

Прирівняйте похідну до нуля

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3

Який із них максимум?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 від’ємна, тож x = 1 — максимум. f″(3) = 6 додатна, тож x = 3 — мінімум.

Знайдіть значення

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5

f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1

Графік це підтверджує: в обох точках він плаский, вершина в (1, 5) і дно в (3, 1).

Відповідь

f′(0) = 9. Локальний максимум у (1, 5), локальний мінімум у (3, 1).

6Типові помилки

Забути похідну внутрішньої функції в правилі складеної функції.
Писати (u · v)′ = u′ · v′. Правило добутку має два доданки.
Переплутати порядок у правилі частки: зверху u′v − uv′, з мінусом.
Підставляти число до диференціювання. Спершу диференціюйте, потім підставляйте.
Вважати сталий множник, як-от 5x³, добутком. Усе простіше: 5 просто залишається.

Самоперевірка Яка похідна від √x?

1/(2√x)
1/√x
2√x
½x

Відповідь: 1/(2√x). √x = x^1/2, тож похідна дорівнює ½x^−1/2 = 1/(2√x). Якщо спершу переписати корінь як степінь, це легко.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легкі: многочлен. Скористайтеся степеневим правилом і знайдіть нахил при заданому x.
Середні: правило складеної функції або добутку, наприклад (2x + 5)⁵ чи x²·e^−x, у заданій точці.
Складні: дотичні й екстремуми. Розв’яжіть f′(x) = 0 і визначте, яка точка є максимумом.

Швидка перевірка для задач на нахил: уявіть графік. Якщо там він іде вгору, ваша відповідь має бути додатною.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Нехай f(x) = −x⁵ + 3x² − 7x + 7. Знайдіть нахил графіка в точці x = 1, тобто f′(1).

f(x) = −x⁵ + 3x² − 7x + 7x = 1

Знайти: f′(1)

Показати підказки

Диференціюйте почленно за правилом (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Стала зникає.
f′(x) = −5x⁴ + 6x − 7.
Тепер підставте x = 1.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Диференціюйте почленно

f′(x) = −5x⁴ + 6x − 7

Підставте

f′(1) = (−5)·1⁴ + 6·1 + (−7) = −6

Відповідь

f′(1) = −6

Приклад 2Середня

Нехай f(x) = x³·e^−x. Знайдіть f′(1).

f(x) = x³·e^−xx = 1

Знайти: f′(1)

Показати підказки

Правило добутку з u = x³ і v = e^−x.
u′ = 3x², v′ = −1·e^−x.
f′(x) = e^−x·(3x² + (−1)·x³).

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Підставте

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Відповідь

f′(1) = 0,7358

Приклад 3Складна

Нехай f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 6

Знайти: x

Показати підказки

У локальному максимумі чи мінімумі похідна дорівнює нулю.
f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 0.
Для кубічної функції з додатним членом x³ спочатку йде максимум (менше x), а потім мінімум.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Похідна

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 3 або x = 6

Що є що

f″(x) = 6x − 27: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 6

Відповідь

x = 6

Запитання й відповіді

Похідні: що це?

Похідні: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Похідні: які помилки найпоширеніші?

Забувають похідну внутрішньої функції в ланцюговому правилі.
Плутають порядок у правилі частки.
Розглядають сталий множник як добуток.

Похідні: що ви тренуєте?

Легка: степеневе правило
Середня: ланцюгове правило і правило добутку
Складна: дотичні та екстремуми

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Границі

Далі

Інтеграли Диференціальне числення функцій багатьох змінних Чисельні методи Диференціальні рівняння Оптимізація Послідовності та ряди

Калькулятори

Калькулятор похідної з кроками

Курси з цією темою

Математичний аналіз 1 Вища математика Диференціальні рівняння Тренувальні задачі AP Calculus

Інші теми: Математика і статистика

Границі Оптимізація Інтеграли Послідовності та ряди Диференціальне числення функцій багатьох змінних Диференціальні рівняння Комплексні числа Чисельні методи Матриці та визначники Вектори: скалярний і векторний добутки Логіка висловлювань і доведення Множини, відношення та функції Теорія графів Теорія чисел і арифметика за модулем Імовірність Описова статистика Нормальний розподіл Довірчі інтервали Перевірка гіпотез і довірчі інтервали Лінійна регресія та кореляція Критерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Похідні» з відповідями

Тренуйтеся безкоштовно: Похідні Тренуйтеся зараз: ПохідніБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.