Калькулятор похідної з кроками
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Продиференціюйте функцію від x і подивіться, як застосовується кожне правило. Калькулятор опрацьовує многочлени, степені й корені, показникові функції, логарифми, тригонометричні та обернені тригонометричні функції та поєднує їх за правилами суми, добутку, частки й складної функції, спрощуючи результат по ходу. Він також може знайти другу й третю похідну та обчислити похідну і дотичну в точці.
Покроковий розв’язок
Прочитайте функцію
Правило суми: диференціюйте почленно
Правило добутку
Ланцюгове правило
Похідна частки
Ланцюгове правило
Використані правила диференціювання
Результат
Обчисліть у цій точці
Основні формули
- Похідна степеня
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Правило добутку
- (uv)′ = u′v + uv′
- Похідна частки
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Ланцюгове правило
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Основні похідні
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Як знайти похідну крок за кроком
- Розбийте суму на доданки й продиференціюйте кожен окремо (правило суми). Сталі множники лишаються спереду (правило сталого множника).
- Для степенів використайте степеневе правило, d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹. Воно працює і для коренів та обернених величин: √x = x^(1/2) і 1/x² = x⁻².
- Для добутку u·v використайте правило добутку (uv)′ = u′v + uv′; для частки u/v — правило частки (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
- Для функції від іншої функції, як-от sin(3x) чи e^(x²), використайте правило складної функції: продиференціюйте зовнішню функцію, залиште внутрішню й помножте на похідну внутрішньої.
- Спростіть: зведіть подібні доданки й скоротіть спільні множники між чисельником і знаменником.
Запитання й відповіді
Як ввести функцію?
Використовуйте ^ для степенів і дужки для аргументів функцій: x^3 - 2x, sin(3x), e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x^2 + 1). Знаки множення можна опускати: 3x^2 sin(x) означає 3x²·sin(x). Записуйте e^(2x) з дужками; e^2x читається як e²·x.
Які функції підтримуються?
sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, exp, ln, log (за основою 10) і sqrt, з будь-якою комбінацією +, −, ·, / і степенів, зокрема степенів на кшталт x^x, де і основа, і показник містять x.
Чим відрізняються ln і log?
ln — натуральний логарифм, за основою e, з d/dx[ln x] = 1/x. У цьому калькуляторі log означає десятковий логарифм, похідна якого дорівнює 1/(x·ln 10).
Як калькулятор знаходить дотичну?
Введіть точку x₀. Дотична має вигляд y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀): вона проходить через точку на кривій, а її нахил дорівнює похідній.
Чи завжди відповідь має найпростіший вигляд?
Результат спрощується зведенням подібних доданків, об’єднанням степенів і скороченням спільних множників, але він може бути записаний інакше, ніж у вашому підручнику, наприклад cos(x)/sin(x) замість cot(x). Обидві форми рівні.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Похідні»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.