Калькулятор розподілу Пуассона
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,01832 | 0,01832 |
| 1 | 0,07326 | 0,09158 |
| 2 | 0,1465 | 0,2381 |
| 3 | 0,1954 | 0,4335 |
| 4 | 0,1954 | 0,6288 |
| 5 | 0,1563 | 0,7851 |
| 6 | 0,1042 | 0,8893 |
| 7 | 0,05954 | 0,9489 |
| 8 | 0,02977 | 0,9786 |
| 9 | 0,01323 | 0,9919 |
| 10 | 0,005292 | 0,9972 |
| 11 | 0,001925 | 0,9991 |
| 12 | 0,0006415 | 0,9997 |
Знаходьте ймовірності Пуассона для кількості подій у фіксованому інтервалі, як-от дзвінки за годину, дефекти на метр чи прибуття за хвилину. Введіть середню інтенсивність λ і кількість x, щоб отримати ймовірність рівно x подій, щонайбільше x, щонайменше x, менше за x або більше за x. Кроки показують формулу e^(−λ)·λˣ/x! для кожного доданка й використовують доповнення, де воно коротше.
Покроковий розв’язок
Формула ймовірності Пуассона
Скористайтеся доповненням (менше доданків)
Середнє та дисперсія
Основні формули
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
Як обчислювати ймовірності Пуассона
- Знайдіть λ — середню кількість подій в інтервалі, про який ідеться в задачі. Якщо інтенсивність 3 за годину, а запитання про 2 години, візьміть λ = 6.
- Для рівно x подій використовуйте P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!.
- Для «щонайбільше x» додайте ймовірності від 0 до x.
- Для «щонайменше x» використайте доповнення P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1), бо суму до нескінченності виписати неможливо.
- Перевірте відповідь за середнім і дисперсією: обидва дорівнюють λ.
Запитання й відповіді
Коли застосовний розподіл Пуассона?
Коли події трапляються по одній, незалежно одна від одної та зі сталою середньою інтенсивністю, а ви рахуєте, скільки їх потрапляє у фіксований інтервал часу, довжини, площі чи об’єму.
Яке середнє та дисперсія розподілу Пуассона?
Обидва дорівнюють λ, тож стандартне відхилення — √λ. Якщо дисперсія ваших даних набагато більша за середнє, події, імовірно, згруповані, і модель Пуассона підходить погано.
Чи може λ бути десятковим дробом?
Так. λ — це середнє, тож значення на кшталт 2,5 події за годину цілком припустимі. Кількість подій x має бути цілим числом.
Як розподіл Пуассона пов’язаний із біноміальним?
Для біноміального розподілу з багатьма випробуваннями й малою ймовірністю успіху розподіл Пуассона з λ = np дає майже ті самі ймовірності. Поширене практичне правило: n ≥ 20 і p ≤ 0,05.
Чому P(X ≥ 1) дорівнює 1 − e^(−λ)?
Єдиний спосіб мати менше однієї події — не мати жодної, а P(X = 0) = e^(−λ). Отже, P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ), що дорівнює 0,8647 для λ = 2.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Імовірність»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.