Калькулятор розміщень і комбінацій (nPr і nCr)
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Порахуйте кількість способів вибрати r елементів з n. Розміщення nPr рахують упорядковані набори; комбінації nCr рахують вибори, де порядок не має значення. Калькулятор також дає кількості, коли елементи можуть повторюватися, і працює з точними цілими числами для n і r до 1000: кроки показують кожну цифру, навіть дуже великих результатів.
Покроковий розв’язок
Розміщення: порядок має значення
Комбінації: порядок не має значення
Із дозволеними повтореннями
Основні формули
- Перестановки
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Комбінації
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- З повтореннями
- nr, якщо порядок важливий, C(n + r − 1, r), якщо ні
Як обчислювати розміщення та комбінації
- Вирішіть, чи має значення порядок. Розставити людей у ряд, присудити перший і другий призи чи скласти код: порядок має значення, тож використовуйте розміщення. Вибрати команду чи руку карт: порядок не має значення, тож використовуйте комбінації.
- Розміщення: nPr = n!/(n − r)!, добуток r множників n·(n − 1)···(n − r + 1).
- Комбінації: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. Ділення на r! прибирає r! порядків кожного вибору.
- Якщо повторення дозволені, упорядковані вибори дають nʳ, а неупорядковані — C(n + r − 1, r).
- Перевірте на малому прикладі: C(4, 2) = 6 і P(4, 2) = 12, бо кожну пару можна записати у 2 порядках.
Запитання й відповіді
Чим відрізняється розміщення від комбінації?
Розміщення — це впорядкований набір, а комбінація — невпорядкований вибір. З літер A, B і C можна скласти 6 впорядкованих пар (AB, BA, AC, CA, BC, CB), але лише 3 невпорядковані ({A, B}, {A, C}, {B, C}).
Чому C(n, r) дорівнює C(n, n − r)?
Вибрати r елементів, які беруть, — те саме, що вибрати n − r елементів, які залишають. Наприклад, C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
Чому дорівнює 0!?
0! = 1. Завдяки цьому формули працюють на краях: C(n, 0) = C(n, n) = 1, бо існує рівно один спосіб вибрати нічого або все.
Що таке комбінації з повторенням?
Невпорядковані вибори, в яких той самий елемент можна брати більше одного разу, як-от 3 кульки морозива з 10 смаків. Кількість дорівнює C(n + r − 1, r), тобто C(12, 3) = 220 для цього прикладу.
Де комбінації використовуються в теорії ймовірностей?
У біноміальній формулі C(n, x) рахує порядки, у яких x успіхів можуть настати в n випробуваннях. У лотереях і картярських іграх ймовірність руки — це кількість сприятливих комбінацій, поділена на загальну кількість комбінацій.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Імовірність»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.