Вектори: скалярний і векторний добутки: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: скалярний добуток · векторний добуток

Безкоштовні задачі з теми Вектори: скалярний і векторний добутки з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: модуль і компоненти, скалярний добуток, векторний добуток і моменти.

Безкоштовна задачаЛегка
xyza

Знайдіть модуль |a| вектора a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Вектори: скалярний і векторний добуткиТренуйтеся зараз: Вектори: скалярний і векторний добуткиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкамодуль і компоненти
  2. Середняскалярний добуток
  3. Складнавекторний добуток і моменти

Як розв’язувати задачі на тему «Вектори: скалярний і векторний добутки»

  1. Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
  2. Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
  3. Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.

Типові помилки

  • Додавати модулі замість компонент.
  • Помилятися зі знаком середньої (y) компоненти векторного добутку.
  • Брати положення точки замість r = A − O у моменті.
  • Брати арктангенс, не перевіривши чверть.

Основні формули

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Одиничний вектор
û = a/|a|
Компоненти за кутом
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярний добуток
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярна проєкція a на b
a·b/|b|
Робота
W = F·d
Векторний добуток
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площі
паралелограм |a × b|, трикутник ½|a × b|
Момент відносно O
MO = r × F, r = A − O
Об’єм паралелепіпеда
V = |a·(b × c)|

Вивчайте тему «Вектори: скалярний і векторний добутки» з нуля

1Що таке вектор

Деякі величини потребують лише числа: маса 5 kg чи температура 20 °C. Це скаляри.

Інші величини потребують ще й напрямку. Сила 40 N, що штовхає вгору, дуже відрізняється від 40 N, що штовхає вбік. Це вектори.

Вектор описують його складовими: як далеко він сягає вздовж x, вздовж y і вздовж z. Вектор a = (4, 3, 0) сягає 4 одиниці вздовж x, 3 вздовж y і 0 вздовж z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Сили, переміщення й швидкості — усе це вектори. Інженери використовують векторну математику, щоб додавати сили, знаходити кути й обчислювати моменти в трьох вимірах.

Вектори додаються покомпонентно: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Так знаходять рівнодійну кількох сил.

Самоперевірка Яка довжина вектора a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Відповідь: 5. Довжина дорівнює √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Додавання складових (7) неправильне, бо вони перпендикулярні, а 25 забуває квадратний корінь.

2Довжина, напрямок і складові

Модуль |a| — це довжина вектора. Це теорема Піфагора в трьох вимірах:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Одиничний вектор має довжину 1 і вказує в тому самому напрямку. Його отримують діленням кожної складової на модуль:

û = a / |a|

Для a = (0, 3, 4) модуль дорівнює 5, тож û = (0, 0,6, 0,8). Перевірка: 0,6² + 0,8² = 1.

Силу в площині xy часто задають величиною F і кутом θ, відміряним проти годинникової стрілки від додатної осі x. Її складові:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Косинус і синус дають знаки автоматично. Сила під кутом 120° має від’ємну x-складову, бо cos 120° = −0,5.

Повертаючись від складових до кута, arctan(Ry/Rx) дає лише відповіді між −90° і 90°. Якщо Rx від’ємне, додайте 180°. Якщо від’ємне лише Ry, додайте 360°.

Самоперевірка Яка y-складова одиничного вектора в напрямку a = (0, 3, 4)?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Відповідь: 0,6. Поділіть на модуль 5: 3/5 = 0,6. 3 забуває поділити, 0,12 ділить на |a|² = 25, а 0,43 ділить на суму складових (7).

3Скалярний і векторний добуток

Є два способи помножити два вектори. Скалярний добуток дає число. Векторний добуток дає новий вектор.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Тут θ — кут між двома векторами. Скалярний добуток вимірює, наскільки вектори вказують в одному напрямку. Він дорівнює нулю, коли вони перпендикулярні.

dFθ|F|·cos θ
  • Кут: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • Скалярна проєкція a на b (частина a вздовж b): a·b / |b|.
  • Робота сталої сили на переміщенні: W = F·d.
  • Два вектори перпендикулярні, коли a·b = 0.

Векторний добуток a × b — це вектор, перпендикулярний і до a, і до b. Його довжина дорівнює площі паралелограма, натягнутого на ці два вектори.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Для a = (1, 2, 0) і b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Паралелограм має площу 5, а трикутник — половину цього, 2,5.

Порядок має значення: b × a = −(a × b). Момент сили F, що діє в точці A, відносно точки O дорівнює M = r × F, де r = A − O.

Самоперевірка Для a = (2, 1, 0) і b = (1, 4, 0) чому дорівнює z-складова a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Відповідь: 7. z-складова = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 — це b × a (порядок змінено), 6 — скалярний добуток, а 9 додає два добутки замість віднімання.

4Метод крок за кроком

  1. Запишіть кожен вектор у складових. Для сили, заданої величиною й кутом, використайте F·cos θ і F·sin θ.
  2. Якщо запитання задає точки, побудуйте з них вектори: вектор від A до B дорівнює B − A.
  3. Вирішіть, який інструмент вам потрібен. Довжини й напрямки: модуль і одиничний вектор. Кути, проєкції й робота: скалярний добуток. Площі, перпендикулярні вектори й моменти: векторний добуток.
  4. Спершу запишіть формулу, потім підставляйте числа по одній складовій. Тримайте знаки в дужках.
  5. Перевірте результат: одиничний вектор має довжину 1, a × b перпендикулярний до a (тож a·(a × b) = 0), а кут між векторами лежить між 0° і 180°.

Для одиничного вектора, перпендикулярного до двох векторів, візьміть n = a × b і поділіть його на його довжину. Якщо запитання хоче додатну z-складову, а ваша від’ємна, змініть усі знаки.

Об’єм паралелепіпеда з ребрами a, b і c дорівнює |a·(b × c)|: спершу векторний добуток, потім скалярний.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Стала сила F = (6, 2, −3) N переміщує тіло по прямій з точки A(1, 0, 2) у точку B(3, 4, 2). Координати задано в метрах. Знайдіть роботу W сили та кут θ між силою й переміщенням.

1

Побудуйте переміщення

Переміщення — це вектор від A до B: відніміть початок від кінця.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Працюйте зі скалярним добутком

Робота — це скалярний добуток сили та переміщення. Перемножте відповідні складові й додайте.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Два модулі

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

Кут

dFθ|F|·cos θ

Використайте іншу форму скалярного добутку, F·d = |F|·|d|·cos θ, і розв’яжіть щодо cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Перевірте відповідь

Робота додатна, тож кут має бути меншим за 90°. Так і є.

Частина сили вздовж руху дорівнює |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Помножена на відстань 4,472 m, вона знову дає 20 J.

Відповідь

W = 20 J і θ ≈ 50,3°.

6Типові помилки

  • Додавати модулі замість складових. Дві сили 3 N і 4 N під прямим кутом дають 5 N, а не 7 N.
  • Використовувати координати точки замість r = A − O у моменті.
  • Помилитися зі знаком середньої (y) складової векторного добутку. Вона дорівнює azbx − axbz, а не навпаки.
  • Міняти порядок у векторному добутку. b × a вказує в протилежний бік порівняно з a × b.
  • Брати arctan для напрямку, не перевіривши, у якій чверті лежить вектор.
  • Забувати ½ для площі трикутника: вона дорівнює половині |AB × AC|.
Самоперевірка Сила F = (0, 10, 0) N діє в точці A(3, 0, 0) m. Яка величина її моменту відносно O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Відповідь: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, тож M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Використання самої точки A як r дає 30 N·m, A + O дає 40 N·m, а лише O — 10 N·m.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: модуль і складові. Довжина вектора, одна складова одиничного вектора, складова сили, заданої величиною й кутом, або величина чи напрямок рівнодійної двох сил.
  • Середній: скалярний добуток. Скалярний добуток, кут між двома векторами, скалярна проєкція, робота сили між двома точками або значення k, за якого два вектори перпендикулярні.
  • Складний: векторний добуток і моменти. Одна складова a × b, площа паралелограма чи трикутника, момент сили відносно точки, одиничний вектор нормалі або об’єм паралелепіпеда зі змішаного добутку.

Для запитання про перпендикулярність покладіть a·b = 0. Це дає одне лінійне рівняння відносно k.

Для трикутника з вершинами A, B і C використайте вектори сторін AB = B − A та AC = C − A. Площа дорівнює ½·|AB × AC|.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
xy135°F1​F2​

У точці площини xy діють дві сили: F₁ = 110 N під кутом 0° і F₂ = 190 N під кутом 135°, обидва кути відміряно проти годинникової стрілки від додатної осі x. Знайдіть напрям φ їхньої рівнодійної, відміряний проти годинникової стрілки від додатної осі x (між 0° і 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Знайти: φ (°)

Показати підказки
  1. Розкладіть кожну силу на x- і y-компоненти.
  2. Додайте x-компоненти та y-компоненти окремо.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Компоненти рівнодійної

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Напрямок

Rₓ від’ємна, тож рівнодійна напрямлена в другу або третю чверть: додайте 180° до кута з калькулятора.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Відповідь

φ = 100,3°
Приклад 2Середня
xyzab

Знайдіть значення k, за якого вектори a = (−4, −4, 0) і b = (k, 6, 4) перпендикулярні.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Знайти: k

Показати підказки
  1. Скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю.
  2. Запишіть a·b = 0, де k — невідома, і розв’яжіть лінійне рівняння.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярний добуток дорівнює нулю

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Розв’яжіть щодо k

k = −(−24)/(−4) = −6

Відповідь

k = −6
Приклад 3Складна
xyzABC

Знайдіть площу A трикутника з вершинами A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) і C(1, 4, −4). Координати подано в метрах.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Знайти: A (m²)

Показати підказки
  1. Утворіть два вектори сторін з однієї вершини: AB = B − A і AC = C − A.
  2. Площа дорівнює ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Вектори сторін

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Векторний добуток

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Площа трикутника

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Відповідь

A = 18,99 m²

Запитання й відповіді

Вектори: скалярний і векторний добутки: що це?

Деякі величини потребують лише числа: маса 5 kg чи температура 20 °C. Це скаляри.

Інші величини потребують ще й напрямку. Сила 40 N, що штовхає вгору, дуже відрізняється від 40 N, що штовхає вбік. Це вектори.

Вектори: скалярний і векторний добутки: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Запишіть кожен вектор у компонентах; для сили, заданої модулем і кутом, використовуйте F·cos θ і F·sin θ.
  2. Для довжин і напрямів використовуйте модуль √(x² + y² + z²) та одиничний вектор a/|a|.
  3. Скалярний добуток використовуйте для кутів, проєкцій, перпендикулярності й роботи: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторний добуток використовуйте для перпендикулярних векторів, площ і моментів: акуратно запишіть три компоненти, зберігаючи порядок a × b.
Вектори: скалярний і векторний добутки: які помилки найпоширеніші?
  • Додавати модулі замість компонент.
  • Помилятися зі знаком середньої (y) компоненти векторного добутку.
  • Брати положення точки замість r = A − O у моменті.
  • Брати арктангенс, не перевіривши чверть.
Вектори: скалярний і векторний добутки: що ви тренуєте?
  • Легка: модуль і компоненти
  • Середня: скалярний добуток
  • Складна: векторний добуток і моменти

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Курси з цією темою

СтатикаВища математикаІнженерна математика 2

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиПослідовності та рядиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихДиференціальні рівнянняКомплексні числаЧисельні методиМатриці та визначникиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаНормальний розподілДовірчі інтервалиПеревірка гіпотез і довірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляціяКритерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Вектори: скалярний і векторний добутки» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Вектори: скалярний і векторний добуткиТренуйтеся зараз: Вектори: скалярний і векторний добуткиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.