Безкоштовні задачі з теми Чисельні методи з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: корені та інтерполяція, формули трапецій і Сімпсона, Ейлер, Хойн і Рунге–Кутта.
Безкоштовна задачаЛегка
Застосуйте метод Ньютона–Рафсона до f(x) = e−x − x з початковим значенням x₀ = 0. Знайдіть x2.
Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Типові помилки
Залишити не ту половину інтервалу бісекції або неправильно порахувати кроки.
Писати x − f′/f замість x − f/f′ у методі Ньютона–Рафсона.
Давати внутрішнім вузлам вагу 1 у формулі трапецій або застосовувати Сімпсона з непарною кількістю смуг.
Округлювати ітерації надто рано.
Зробити на один крок Ейлера менше або більше, ніж потрібно, щоб дійти до кінцевого часу.
Основні формули
Бісекція
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Багато рівнянь та інтегралів не мають формули для відповіді: x = cos x, ∫e−x²dx або більшість диференціальних рівнянь. Чисельні методи обчислюють відповідь крок за кроком із потрібною точністю.
Метод бісекції знаходить корінь f(x) = 0 на інтервалі [a, b], де f змінює знак. Візьміть середину c = (a + b)/2 і залиште половину, де знак усе ще змінюється.
Приклад: f(x) = x² − 2 на [1, 2]. c₁ = 1,5 дає f = 0,25 > 0, тож залиште [1; 1,5]. c₂ = 1,25 дає f = −0,4375 < 0, тож залиште [1,25; 1,5]. Потім c₃ = 1,375.
Кожен крок ділить інтервал навпіл, тож після n кроків його ширина дорівнює (b − a)/2ⁿ. Бісекція повільна, але завжди працює, щойно є зміна знака.
Самоперевірка Бісекція починає з інтервалу довжиною 1. Яка ширина інтервалу після 10 кроків?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Відповідь: 1/1024. Кожен крок ділить його навпіл: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Ділення на 10 чи 20 трактує ділення навпіл так, ніби воно адитивне.
2Ньютон–Рафсон
Метод Ньютона–Рафсона іде за дотичною вниз до осі x і використовує цей перетин як наступне наближення:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Для f(x) = x² − 2 із f′(x) = 2x і x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. Корінь дорівнює √2 = 1,414214.
Поблизу кореня метод Ньютона приблизно подвоює кількість правильних цифр на кожному кроці. Він може не спрацювати, коли f′(xₙ) близька до 0 або коли початкове значення далеке від кореня.
Зберігайте щонайменше шість цифр у кожній ітерації; раннє округлення не дає методу покращуватися.
Самоперевірка Один крок Ньютона для f(x) = x² − 5 від x₀ = 2 дає…
1,75
2,25
2,2
2,5
Відповідь: 2,25. f(2) = −1 і f′(2) = 4, тож x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Якщо додати −1/4 замість віднімання, вийде 1,75.
3Лінійна інтерполяція
Таблиці дають значення лише в певних точках. Лінійна інтерполяція проводить пряму між двома сусідніми точками таблиці:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Приклад: таблиця дає f(1) = 2,0 і f(2) = 2,6. У x = 1,4 частка дорівнює 0,4, тож f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Обернена інтерполяція працює так само, але навпаки: щоб знайти, де y = 2,3, частка дорівнює (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, тож x ≈ 1,5.
4Формули трапецій і Сімпсона
Щоб проінтегрувати f від a до b, розбийте інтервал на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀, x₁, …, xₙ.
Формула трапецій замінює криву в кожній смузі прямою. Кожен внутрішній вузол належить двом смугам, тож рахується двічі:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Формула Сімпсона проводить параболи через по три вузли. Їй потрібне парне n:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Для ∫01 x² dx = 1/3 з n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, тоді як S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, точно.
Похибка трапецій зменшується як h², а Сімпсона — як h⁴: зменшення h удвічі робить Сімпсона приблизно в 16 разів точнішим.
Самоперевірка Які ваги формула трапецій дає вузлам x₀, x₁, x₂, x₃?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Відповідь: 1, 2, 2, 1. Два крайні вузли належать одній смузі, а внутрішні — двом, тож 1, 2, 2, 1 із множником h/2. Четвірки належать формулі Сімпсона.
5Ейлер і Хойн для диференціальних рівнянь
Для y′ = f(t, y) з y(t₀) = y₀ крокуйте вперед у часі з кроком h. Метод Ейлера використовує нахил на початку кожного кроку:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) передбачає за Ейлером, а потім усереднює нахили на обох кінцях: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Похибка Ейлера пропорційна h, Хойна — h². Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) використовує чотири нахили і має точність h⁴.
Розв’язаний приклад
Розв’яжіть y′ = y, y(0) = 1 методом Ейлера з h = 0,1 до t = 0,3 і порівняйте з точним розв’язком eᵗ.
1
Крок 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Крок 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Крок 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Порівняйте
Точне значення дорівнює e0,3 = 1,349859, тож глобальна похибка становить 0,0189. Один крок Хойна від y₀ дав би 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 проти e0,1 = 1,105171.
Відповідь
y(0,3) ≈ 1,331 за Ейлером; похибка 0,019 зменшується приблизно пропорційно h.
6Типові помилки та екзаменаційні запитання
Вважати першу середину бісекції кроком 0 або залишити не ту половину інтервалу.
Писати x − f′/f замість x − f/f′ у методі Ньютона.
Забути множник 2 на внутрішніх вузлах або використати h замість h/2 у формулі трапецій.
Застосовувати формулу Сімпсона з непарною кількістю смуг.
У методі Ейлера використати нахил у кінці кроку або зробити на один крок менше.
Легкі: бісекція, ітерації Ньютона та інтерполяція в таблиці. Середні: формули трапецій і Сімпсона, їхня похибка та потрібна кількість смуг. Складні: кроки Ейлера, Хойна та Рунге–Кутти для диференціальних рівнянь.
Самоперевірка y′ = 2y з y(0) = 1. Що дає один крок Ейлера з h = 0,2?
1,2
1,49
1,4
2,4
Відповідь: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Якщо забути множник 2 у нахилі, вийде 1,2; 1,49 — це точне значення e0,4.
Метод бісекції починає з інтервалу довжиною 4. Кожен крок ділить інтервал навпіл. Скільки кроків n потрібно щонайменше, щоб інтервал став коротшим за 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Знайти: n
Показати підказки
Після n кроків інтервал має довжину (b − a)/2ⁿ.
Розв’яжіть 4/2ⁿ < 0,0001, тож 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Знаходження коренів та інтерполяція: метод бісекції зберігає інтервал [a, b], на якому f змінює знак; на кожному кроці береться середина c = (a + b)/2 і залишається та половина, де знак усе ще змінюється, тож після n кроків ширина інтервалу дорівнює (b − a)/2ⁿ. Метод Ньютона–Рафсона йде за дотичною до осі: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); поблизу простого кореня він приблизно подвоює кількість правильних цифр на кроці. Лінійна інтерполяція між двома точками таблиці: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Умова
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Логарифм
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Перевірка
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Відповідь
n = 16
Приклад 2Середня
Наближено обчисліть ∫01,5 √(1 + x³) dx за формулою трапецій з n = 3 смугами. Дайте T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Знайти: T
Показати підказки
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; вузли: 0, 0,5, 1, 1,5.
Ваги: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Зважена сума дорівнює Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Багато рівнянь та інтегралів не мають формули для відповіді: x = cos x, ∫e−x²dx або більшість диференціальних рівнянь. Чисельні методи обчислюють відповідь крок за кроком із потрібною точністю.
Приклад: f(x) = x² − 2 на [1, 2]. c₁ = 1,5 дає f = 0,25 > 0, тож залиште [1; 1,5]. c₂ = 1,25 дає f = −0,4375 < 0, тож залиште [1,25; 1,5]. Потім c₃ = 1,375.
Чисельні методи: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.
Чисельні методи: які помилки найпоширеніші?
Залишити не ту половину інтервалу бісекції або неправильно порахувати кроки.
Писати x − f′/f замість x − f/f′ у методі Ньютона–Рафсона.
Давати внутрішнім вузлам вагу 1 у формулі трапецій або застосовувати Сімпсона з непарною кількістю смуг.
Округлювати ітерації надто рано.
Зробити на один крок Ейлера менше або більше, ніж потрібно, щоб дійти до кінцевого часу.
Чисельні методи: що ви тренуєте?
Легка: корені та інтерполяція
Середня: формули трапецій і Сімпсона
Складна: Ейлер, Хойн і Рунге–Кутта
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.