Послідовності та ряди: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Послідовності та ряди з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: арифметичні та геометричні ряди, збіжність і степеневі ряди, многочлени Тейлора та Маклорена.

Безкоштовна задачаЛегка
kak​12345678

Знайдіть суму S8 перших 8 членів геометричної послідовності 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Послідовності та рядиТренуйтеся зараз: Послідовності та рядиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаарифметичні та геометричні ряди
  2. Середнязбіжність і степеневі ряди
  3. Складнамногочлени Тейлора та Маклорена

Як розв’язувати задачі на тему «Послідовності та ряди»

  1. Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
  2. Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
  3. Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
  4. Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Типові помилки

  • Використовувати n замість n − 1 в aₙ = a₁ + (n − 1)d або a₁rⁿ⁻¹.
  • Використовувати формулу нескінченної суми за |r| ≥ 1 або з неправильним першим членом.
  • Робити висновок про збіжність лише тому, що члени прямують до 0.
  • Перевертати границю за ознакою Даламбера: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, а не обернена до неї.
  • Забути факторіали або знакозмінність у многочлені Тейлора.

Основні формули

Арифметична послідовність
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрична послідовність
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Нескінченний геометричний ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ознака Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радіус збіжності
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оцінка похибки Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Вивчайте тему «Послідовності та ряди» з нуля

Перед цим: Границі, Похідні

1Арифметична та геометрична послідовності

Послідовність — це список чисел a₁, a₂, a₃, …, а ряд — їхня сума. Два види повертаються в кожному іспиті.

Арифметична послідовність додає ту саму різницю d на кожному кроці: 3, 7, 11, 15, … має d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Для 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 і S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Зверніть увагу на n − 1: від першого до 20-го члена лише 19 кроків.

Геометрична послідовність множить на той самий знаменник r на кожному кроці: 2, 6, 18, … має r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Самоперевірка Чому дорівнює 10-й член послідовності 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Відповідь: 32. d = 3, тож a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Якщо взяти 10·3 замість 9·3, вийде 35.

2Нескінченний геометричний ряд

Продовжуйте додавати члени 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … і сума підповзає до 4, ніколи не перевищуючи її.

nSₙ4123456789233,5

Коли |r| < 1, член rⁿ у Sₙ зменшується до 0, і нескінченна сума існує:

S = a₁/(1 − r), лише для |r| < 1

Тут a₁ — перший член суми. Для Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ перший член дорівнює 8·(1/2)² = 2, тож S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Коли |r| ≥ 1, члени не зменшуються, і ряд не має суми: він розбігається.

Самоперевірка Чому дорівнює Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Відповідь: 4. Перший член (k = 0) дорівнює 3, а r = 1/4, тож S = 3/(1 − 1/4) = 4. Якщо взяти 1 + r у знаменнику, вийде 2,4.

3Чи збігається ряд?

Більшість рядів не мають простої формули суми, але все одно можна вирішити, чи скінченна їхня сума. Використовуйте ознаки в такому порядку:

  1. Необхідна умова (ознака n-го члена): якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається. Σ k/(k + 1) розбігається, бо його члени прямують до 1.
  2. Стандартні ряди: Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1 (тож Σ1/k, гармонічний ряд, розбігається). Σrᵏ збігається лише за |r| < 1.
  3. Порівняння: 1/(k² + 3) менше за 1/k², тож Σ1/(k² + 3) теж збігається.
  4. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 не дає відповіді. Використовуйте її для факторіалів і k-х степенів.
  5. Знакозмінні ряди: Σ(−1)ᵏ/k збігається, бо члени чергують знаки й спадають до 0.

Приклад: для Σ k/2ᵏ відношення дорівнює ((k + 1)/k)·(1/2), що прямує до L = 1/2 < 1, тож ряд збігається.

Самоперевірка Який із цих рядів розбігається?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Відповідь: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 — це p-ряд з p = 1/2 ≤ 1, тож він розбігається. 1/k² має p = 2, (2/3)ᵏ — геометричний з r < 1, а ознака Даламбера дає L = 0 для 3ᵏ/k!.

4Степеневі ряди та радіус збіжності

Степеневий ряд Σ ck(x − x₀)ᵏ — це многочлен без кінця. Він збігається для x, достатньо близьких до центра x₀.

Ознака Даламбера для всього члена дає радіус збіжності R: ряд збігається за |x − x₀| < R і розбігається за |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Приклад: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) має ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, що прямує до 3. Отже, R = 3, і ряд збігається для −3 < x < 3.

На двох кінцях інтервалу ознака не дає відповіді; перевіряйте їх окремо, якщо запитання вимагає повного інтервалу.

5многочлени Тейлора та Маклорена

Поблизу точки a гладка функція схожа на многочлен. Многочлен Тейлора степеня n збігається зі значенням та першими n похідними в a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Для a = 0 його називають многочленом Маклорена. Вивчіть ці ряди напам’ять:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Чим більше членів ви берете, тим довше многочлен лишається близьким до функції.

Розв’язаний приклад

Наближено обчисліть e0,5 многочленом Маклорена степеня 3 і оцініть похибку.

1

Запишіть многочлен

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Підставте x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Оцінка похибки Лагранжа

Похибка не перевищує M·|x|⁴/4!, де M — найбільше значення 4-ї похідної eᵗ між 0 і 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Порівняйте

Калькулятор дає e0,5 = 1,648721, тож справжня похибка дорівнює 0,0029, у межах оцінки.

Відповідь

e0,5 ≈ 1,6458, із похибкою не більше 0,0043.

6Типові помилки та екзаменаційні запитання

  • Брати n замість n − 1 кроків для n-го члена.
  • Писати a/(1 − r) з неправильним першим членом, коли сума починається не з k = 0.
  • Робити висновок, що ряд збігається, бо його члени прямують до 0. Контрприклад — Σ1/k.
  • Забути факторіали в многочлені Тейлора або мінуси в sin і cos.
  • Використовувати |x|ⁿ/n! замість |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! в оцінці похибки.

Легкі: суми арифметичних і геометричних послідовностей. Середні: визначення збіжності, ознака Даламбера та радіус збіжності. Складні: многочлени Тейлора, їхні коефіцієнти та оцінки похибки.

Самоперевірка Чому дорівнює коефіцієнт при x³ у ряді Маклорена для sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Відповідь: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, а 3! = 6, тож коефіцієнт дорівнює −1/6. Якщо забути мінус, вийде 1/6.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
kak​13579111315ε = 0,2

Геометрична послідовність aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ спадає. Знайдіть перший індекс n, для якого aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Знайти: n

Показати підказки
  1. Розв’яжіть 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 за допомогою логарифмів.
  2. ln 0,85 від’ємний: ділення на нього змінює знак нерівності на протилежний.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Арифметичні та геометричні ряди: арифметична послідовність додає ту саму різницю d на кожному кроці, aₙ = a₁ + (n − 1)d, а її сума Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Геометрична послідовність множить на той самий знаменник r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, із Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Коли |r| < 1, члени спадають достатньо швидко, щоб нескінченна сума існувала: S = a₁/(1 − r), де a₁ — перший член суми.

Нерівність

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Логарифми

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Перевірка

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Відповідь

n = 21
Приклад 2Середня
kSn​12345678910S = ?

Знайдіть суму S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Знайти: S

Показати підказки
  1. Найпростіші дроби: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Випишіть перші кілька членів: більшість скорочується (телескопічна сума).
  3. Лишається (12/3)·(1 + … + 1/3).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Скасувати

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Відповідь

S = 7,333
Приклад 3Складна

Функцію f(x) = cos x наближено в точці x = 1 многочленом Маклорена степеня n. За оцінкою Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! з M = 1 знайдіть найменший степінь n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Знайти: n

Показати підказки
  1. Спробуйте n = 1, 2, 3, … і щоразу обчислюйте 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
  2. Факторіал зростає швидко, тож кількох кроків досить.
  3. Зупиніться на першому n, для якого оцінка нижча за 1 × 10⁻⁶.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Многочлени Тейлора: поблизу x = a гладка функція наближається многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; для a = 0 це многочлен Маклорена. Стандартні ряди: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оцінка похибки Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, де M — найбільше значення |f⁽ⁿ⁺¹⁾| між a і x.

n(n + 1)!оцінка011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Оцінки для зростаючого n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Найменший степінь

n = 9

Відповідь

n = 9

Запитання й відповіді

Послідовності та ряди: що це?

Для 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 і S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Зверніть увагу на n − 1: від першого до 20-го члена лише 19 кроків.

Послідовності та ряди: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Визначте тип: арифметична (стала різниця), геометрична (сталий знаменник), стандартний ряд, степеневий ряд чи многочлен Тейлора.
  2. Для сум користуйтеся Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) або S = a₁/(1 − r) за |r| < 1, де a₁ — перший член суми.
  3. Для збіжності: спершу ознака n-го члена, потім порівняння з Σ1/kᵖ або геометричним рядом, а ознаку Даламбера чи Коші використовуйте для факторіалів і k-х степенів.
  4. Для многочленів Тейлора випишіть f(a), f′(a), f″(a), …, поділіть k-ту похідну на k! і оцініть похибку за M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Послідовності та ряди: які помилки найпоширеніші?
  • Використовувати n замість n − 1 в aₙ = a₁ + (n − 1)d або a₁rⁿ⁻¹.
  • Використовувати формулу нескінченної суми за |r| ≥ 1 або з неправильним першим членом.
  • Робити висновок про збіжність лише тому, що члени прямують до 0.
  • Перевертати границю за ознакою Даламбера: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, а не обернена до неї.
  • Забути факторіали або знакозмінність у многочлені Тейлора.
Послідовності та ряди: що ви тренуєте?
  • Легка: арифметичні та геометричні ряди
  • Середня: збіжність і степеневі ряди
  • Складна: многочлени Тейлора та Маклорена

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

ГраниціПохідні

Курси з цією темою

Інженерна математика 2Математичний аналіз 2Чисельні методиТренувальні задачі AP Calculus

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихДиференціальні рівнянняКомплексні числаЧисельні методиМатриці та визначникиВектори: скалярний і векторний добуткиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаНормальний розподілДовірчі інтервалиПеревірка гіпотез і довірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляціяКритерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Послідовності та ряди» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Послідовності та рядиТренуйтеся зараз: Послідовності та рядиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.