Математичний аналіз 2: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Другий курс математичного аналізу: методи інтегрування, послідовності та ряди з ознаками збіжності, степеневі ряди та многочлени Тейлора, а також числення функцій багатьох змінних із частинними похідними, градієнтами, критичними точками та подвійними інтегралами. Залежно від навчальної програми частину цього матеріалу викладають як Математичний аналіз 3.

Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

  1. Інтегралимногочлени · експоненти, логарифми й заміна змінної · площі між кривимирозрахунки
  2. Послідовності та рядиарифметичні та геометричні ряди · збіжність і степеневі ряди · многочлени Тейлора та Маклоренарозрахунки
  3. Диференціальне числення функцій багатьох зміннихчастинні похідні та подвійні інтеграли · градієнт, дотична площина та правило ланцюга · критичні точки та інтеграли по областяхрозрахунки
  4. Диференціальні рівнянняекспоненціальне зростання й спадання · Закон охолодження Ньютона · лінійні першого порядкурозрахунки

Поради до іспиту: Математичний аналіз 2

  • Перш ніж застосовувати ознаки збіжності, перевірте, що члени прямують до 0; якщо ні, ряд розбігається.
  • Запишіть многочлен Тейлора з факторіалами, перш ніж підставляти число.
  • Для подвійного інтеграла спершу накресліть область: креслення дає межі внутрішнього інтеграла.

Розв’язані приклади

ІнтегралиЛегка
xy3y = 0,5x

Область під y = 0,5x від x = 0 до x = 3 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Знайти: V

Показати підказки
  1. Зріз у точці x — круг радіуса y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀3 0,25x² dx

Інтегруйте

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Відповідь

V = 7,069

Перевірка: конус радіуса 1,5 і висоти 3 має (1/3)πr²h = 7,069.

Послідовності та рядиСередня
kSn​12345678910S = ?

Знайдіть суму S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Знайти: S

Показати підказки
  1. Найпростіші дроби: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Випишіть перші кілька членів: більшість скорочується (телескопічна сума).
  3. Лишається (12/3)·(1 + … + 1/3).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Скасувати

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Відповідь

S = 7,333

Як проходить тренування

  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор періоду напіврозпаду й експоненціального розпадуКалькулятор інтегралів (визначених і невизначених)

Пов’язані курси

Інженерна математика 2Тренувальні задачі AP CalculusВища математикаДиференціальні рівнянняЧисельні методиМатематичний аналіз 1Основи статистикиСтатистика 2: Статистичне висновування
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.