Інтеграли: задачі з покроковими розв’язками

Q: Інтеграли: що ви тренуєте?

Легка: многочлени Середня: експоненти, логарифми й заміна змінної Складна: площі між кривими Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: невизначений інтеграл · визначений інтеграл · інтегрування частинами

Безкоштовні задачі з теми Інтеграли з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: многочлени, експоненти, логарифми й заміна змінної, площі між кривими.

Безкоштовна задачаЛегка

Обчисліть I = ∫₋₂⁻¹ (4x² − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x² − 4x + 5[−2, −1]

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Інтеграли Тренуйтеся зараз: ІнтегралиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкамногочлени
Середняекспоненти, логарифми й заміна змінної
Складнаплощі між кривими

Як розв’язувати задачі на тему «Інтеграли»

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Типові помилки

Забувають поділити на новий показник степеня.
Не змінюють межі після підстановки.
Забувають + C у невизначеному інтегралі.

Основні формули

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Вивчайте тему «Інтеграли» з нуля

Перед цим: Похідні

1Що таке інтеграл

Інтеграл додає величину, що змінюється. Найочевидніша картина — площа під графіком.

Автомобіль їде зі швидкістю 20 m/s протягом 5 s. Він долає 20 · 5 = 100 m. На графіку швидкість–час це площа прямокутника під лінією.

Коли швидкість змінюється, форма під графіком вигнута, але ідея та сама: площа — це відстань.

Площу під f між x = a та x = b записують так:

∫_a^b f(x) dx

Числа a та b — межі інтеграла. dx показує, що x — змінна.

Самоперевірка Велосипедист їде з постійною швидкістю 10 m/s протягом 4 s. Яка площа під графіком швидкість–час?

10 m
14 m
2,5 m
40 m

Відповідь: 40 m. Площа — це прямокутник: висота 10 m/s, помножена на ширину 4 s, дає 40 m. Ділення 10 на 4 дає 2,5, а це не площа.

2Первісні та правило степеня

Інтегрування — це диференціювання навпаки. Первісна F функції f — це функція, похідна якої дорівнює f.

Оскільки (x³)′ = 3x², первісна для 3x² — це x³. Можна додати будь-яку сталу, тому пишемо ∫3x² dx = x³ + C.

Правило степеня для інтегралів: збільшіть степінь на одиницю, потім поділіть на новий степінь.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1

Сталий множник залишається спереду: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
Стала сама по собі: ∫4 dx = 4x + C.
У сумі інтегруйте кожен доданок окремо.

Вивчіть також: ∫eˣ dx = eˣ, ∫e^kx dx = e^kx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x і ∫sin x dx = −cos x.

Первісну завжди можна перевірити: продиференціюйте її, і ви повинні отримати початкову функцію.

Самоперевірка Чому дорівнює ∫6x² dx?

12x + C
2x³ + C
3x³ + C
6x³ + C

Відповідь: 2x³ + C. Збільште степінь до 3 і поділіть на 3: 6x³/3 = 2x³. 12x — це похідна, а не інтеграл, а 6x³ забуває поділити на новий степінь.

3Визначені інтеграли та площі

Визначений інтеграл має межі й дає число. Знайдіть первісну F, потім відніміть її значення на двох межах.

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Стала C при відніманні скорочується, тож тут її можна не писати.

Приклад: ∫₁³ 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, бо ln 1 = 0.

Підстановка допомагає, коли одна функція стоїть усередині іншої. Для e^0,5x покладіть u = 0,5x. Результат — правило вище: поділити на 0,5.

∫₀³ e^0,5x dx = 2e^0,5x |₀³ = 2(e^1,5 − 1) ≈ 6,963

Площа між двома кривими — це інтеграл від верхньої кривої мінус нижня, між точками, де вони зустрічаються.

Для y = 2x і y = x² криві перетинаються за x = 0 і x = 2. На цьому проміжку 2x вище.

A = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Самоперевірка Криві y = x і y = x² перетинаються за x = 0 і x = 1. Між ними y = x вище. Яка площа обмеженої області?

1/2
1/6
5/6
−1/6

Відповідь: 1/6. ∫(x − x²) dx від 0 до 1 дорівнює 1/2 − 1/3 = 1/6. Якщо взяти нижню мінус верхню, вийде −1/6, а якщо додати два інтеграли — 5/6.

4Метод крок за кроком

Перепишіть функцію як суму простих доданків. Записуйте корені й дроби як степені: √x = x^1/2.
Знайдіть первісну кожного доданка за правилом степеня або зі стандартного інтеграла.
Швидко перевірте, продиференціювавши подумки.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) і F(a) окремо.
Відніміть: F(b) − F(a). Стежте за знаками мінус, коли a від’ємне.

Для площі між кривими спершу розв’яжіть f(x) = g(x), щоб знайти межі, потім проінтегруйте верхню мінус нижню.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Обчисліть I = ∫₀² (3x² + 2x + 1) dx.

Інтегруйте почленно

3x² дає 3x³/3 = x³. 2x дає 2x²/2 = x². Стала 1 дає x.

F(x) = x³ + x² + x

Перевірте диференціюванням

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Це початкова функція, тож F правильна.

Значення на верхній межі

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14

Значення на нижній межі

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0

Відніміть

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14

Інтеграл — це заштрихована площа під кривою між x = 0 і x = 2.

Відповідь

I = 14

6Типові помилки

Забувають поділити на новий показник степеня.
Диференціювати замість інтегрувати: зменшувати степінь замість того, щоб збільшувати.
Записувати ∫1/x dx як x⁰/0. Правило степеня не працює для n = −1; використовуйте ln|x|.
Забувати знаки мінус у F(a), коли a від’ємне, наприклад (−1)³ = −1.
Забувати + C у невизначеному інтегралі або не змінювати межі після підстановки.

Самоперевірка Чому дорівнює ∫₀² x³ dx?

Відповідь: 4. F(x) = x⁴/4, тож F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Якщо забути поділити на новий степінь 4, вийде 16.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легкий: визначений інтеграл многочлена, іноді з від’ємними межами. Використайте правило степеня та F(b) − F(a).
Середній: показникові функції, логарифми та підстановка, наприклад ∫e^0,5x dx або ∫3/x dx між двома межами.
Складний: площа, обмежена двома кривими, наприклад y = x² і y = 4x. Знайдіть, де вони перетинаються, потім проінтегруйте верхню мінус нижню.

Швидка перевірка: площа, обмежена двома кривими, завжди додатна. Якщо ви отримали від’ємне число, ви відняли в неправильному порядку.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Область під y = 0,5x від x = 0 до x = 3 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Знайти: V

Показати підказки

Зріз у точці x — круг радіуса y = 0,5x.
V = π∫₀³ (0,5x)² dx.
= π·0,25·x³/3.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀³ 0,25x² dx

Інтегруйте

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Відповідь

V = 7,069

Перевірка: конус радіуса 1,5 і висоти 3 має (1/3)πr²h = 7,069.

Приклад 2Середня

Обчисліть I = ∫₀² x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀² x·cos x dx

Знайти: I

Показати підказки

Візьміть u = x і dv = cos x dx.
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Відповідь

I = 0,4024

Приклад 3Складна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

Знайти: A

Показати підказки

Спочатку знайдіть точки перетину кривих: прирівняйте їх.
Вони перетинаються при x = 0 і x = 0,5. Між ними пряма лежить над параболою.
A = ∫₀^0,5 (x − 2x²) dx.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

Запитання й відповіді

Інтеграли: що це?

Інтеграл додає величину, що змінюється. Найочевидніша картина — площа під графіком.

Інтеграли: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Інтеграли: які помилки найпоширеніші?

Забувають поділити на новий показник степеня.
Не змінюють межі після підстановки.
Забувають + C у невизначеному інтегралі.

Інтеграли: що ви тренуєте?

Легка: многочлени
Середня: експоненти, логарифми й заміна змінної
Складна: площі між кривими

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Похідні

Далі

Згортка та лінійні стаціонарні системи Перетворення Лапласа Диференціальне числення функцій багатьох змінних Чисельні методи Диференціальні рівняння

Калькулятори

Калькулятор інтегралів (визначених і невизначених)

Курси з цією темою

Математичний аналіз 1 Вища математика Диференціальні рівняння Інженерна математика 2 Математичний аналіз 2 Тренувальні задачі AP Calculus

Інші теми: Математика і статистика

Границі Похідні Оптимізація Послідовності та ряди Диференціальне числення функцій багатьох змінних Диференціальні рівняння Комплексні числа Чисельні методи Матриці та визначники Вектори: скалярний і векторний добутки Логіка висловлювань і доведення Множини, відношення та функції Теорія графів Теорія чисел і арифметика за модулем Імовірність Описова статистика Нормальний розподіл Довірчі інтервали Перевірка гіпотез і довірчі інтервали Лінійна регресія та кореляція Критерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Інтеграли» з відповідями

Тренуйтеся безкоштовно: Інтеграли Тренуйтеся зараз: ІнтегралиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.