Згортка та лінійні стаціонарні системи: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Згортка та лінійні стаціонарні системи з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: дискретна згортка, неперервна згортка, імпульсна характеристика та ряд Фур’є.

Безкоштовна задачаЛегка
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Послідовності x[n] = {−3, 2, 4, 3} і h[n] = {1, 1, 1} обидві починаються з n = 0. Знайдіть відлік y[1] згортки y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Згортка та лінійні стаціонарні системиТренуйтеся зараз: Згортка та лінійні стаціонарні системиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкадискретна згортка
  2. Середнянеперервна згортка
  3. Складнаімпульсна характеристика та ряд Фур’є

Як розв’язувати задачі на тему «Згортка та лінійні стаціонарні системи»

  1. Накресліть обидва сигнали й позначте, де кожен з них ненульовий.
  2. Віддзеркаліть h і зсувайте її: для кожного моменту виходу знайдіть діапазон, де обидва сигнали перекриваються.
  3. Перемножуйте й додавайте (дискретно) або перемножуйте й інтегруйте (неперервно) лише на цьому перекритті.
  4. Перевірте результат: вихід починається в суму моментів початку, закінчується в суму моментів завершення, а його площа чи сума дорівнює добутку площ чи сум входів.

Типові помилки

  • Поелементне перемноження двох сигналів замість їхньої згортки.
  • Зсув h без дзеркального відображення, що дає кореляцію.
  • Застосування формули відгуку на східчастий сигнал там, де запитано імпульсну характеристику, або навпаки.
  • Неправильний підрахунок номера гармоніки: складова на частоті k/T — це гармоніка k.

Основні формули

Дискретна згортка
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Неперервна згортка
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Довжина й сума
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Початок, кінець і площа
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Східчастий сигнал на вході e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Система першого порядку
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Рекурсія першого порядку
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Синусоїда крізь h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Амплітуди ряду Фур’є
прямокутна ±A: 4A/(kπ), непарні k; трикутна ±A: 8A/(π²k²), непарні k; послідовність імпульсів: A·D і (2A/(kπ))|sin kπD|

Вивчайте тему «Згортка та лінійні стаціонарні системи» з нуля

Перед цим: Інтеграли

1Що робить згортка

Лінійна стаціонарна (ЛС) система повністю описується своєю імпульсною характеристикою h: виходом, який вона дає, коли вхід — єдиний короткий імпульс.

Будь-який вхід можна уявити як ряд масштабованих і зсунутих імпульсів. Кожен імпульс дає масштабовану й зсунуту копію h, а вихід — це сума всіх копій. Ця сума і є згорткою y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Згортка з’являється всюди, де система має пам’ять: у фільтрах, датчиках, конструкціях, колах і в розпливанні сигналу в часі.

Самоперевірка Система має h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). Вхід — один відлік x[0] = 2. Який вихід?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Відповідь: y[n] = {2, 6}. Один імпульс висотою 2 дає одну копію h, помножену на 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Згортка зберігає форму h; вона не додає відліки між собою.

2Дискретна згортка крок за кроком

Для послідовностей згортка — це сума:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Віддзеркальте h: h[−k] — це h, віддзеркалена відносно k = 0.
  2. Зсуньте віддзеркалену h на n.
  3. Помножте її відлік на відлік із x і додайте добутки. Це дає y[n].
  4. Повторіть для кожного n. Якщо x має Lx відліків, а h — Lh, то y має Lx + Lh − 1 відліків, що починаються із суми двох початкових індексів.

Швидка перевірка: сума всіх відліків y дорівнює (Σx)·(Σh).

Самоперевірка Для x[n] = {1, 2} і h[n] = {3, 1}, обидві з початком при n = 0, чому дорівнює y[1]?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Відповідь: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Якщо перемножити лише x[1]·h[1], вийде 2, а 6 містить лише один із двох добутків.

3Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Виконайте згортку x[n] = {2, 1, −1} з h[n] = {1, 3}, обидві з початком при n = 0.

1

Погляньте на послідовності

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x має 3 відліки, а h — 2, тож y має 3 + 2 − 1 = 4 відліки, від n = 0 до n = 3.

2

y[0]

Перекриваються лише x[0] і h[0].

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] і y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Перевірте відповідь

Σx = 2 і Σh = 4, тож Σy має дорівнювати 8. Справді, 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Відповідь

y[n] = {2, 7, 2, −3} для n = 0 … 3.

4Неперервна згортка

Для сигналів неперервного часу сума стає інтегралом:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Метод той самий: віддзеркальте h, посуньте її в положення t та проінтегруйте добуток там, де обидва сигнали ненульові.

x(t)t12h(t)t1

При x(t) = 2 для 0 ≤ t < 1 s і h(t) = e−tu(t) вихід, поки імпульс діє, дорівнює y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). При t = 1 s він досягає 2(1 − e−1) = 1,26, а після цього спадає як 1,26·e−(t − 1).

  • y починається в суму двох моментів початку й закінчується в суму двох моментів завершення.
  • Площа під y дорівнює площі під x, помноженій на площу під h.
  • Два прямокутні імпульси дають трапецію; два однакові — трикутник.
Самоперевірка x(t) ненульовий від 0 до 2 s, а h(t) — від 1 s до 4 s. Коли закінчується y(t) = x(t) ∗ h(t)?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Відповідь: 6 s. y закінчується в суму моментів завершення: 2 + 4 = 6 s. Починається вона в 0 + 1 = 1 s, тож триває 5 s; 5 s — це тривалість, а не кінець.

5Імпульсні характеристики та ряди Фур’є

Система першого порядку y′ + a·y = b·x має імпульсну характеристику h(t) = b·e−atu(t). Її дискретний аналог y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] має h[n] = b·aⁿ для n ≥ 0.

Синусоїда проходить через лінійну стаціонарну систему з незмінною частотою. Вона множиться на |H(jω)| і зсувається на ∠H(jω), де H — перетворення Фур’є функції h. Для h(t) = b·e−atu(t) маємо H(jω) = b/(a + jω).

Періодичний сигнал із періодом T — це сума гармонік на частотах k/T. Деякі стандартні амплітуди:

  • Прямокутна хвиля між −A і +A: лише непарні k, амплітуда 4A/(kπ).
  • Трикутна хвиля між −A і +A: лише непарні k, амплітуда 8A/(π²k²).
  • Послідовність імпульсів висотою A і коефіцієнтом заповнення D: середнє A·D, гармоніки (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Самоперевірка Прямокутна хвиля перемикається між −2 і +2. Яка амплітуда її третьої гармоніки?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Відповідь: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. Значення 2,546 — це основна гармоніка, 0,283 ділить на k², як у трикутної хвилі, а 0,424 використовує 2A/(kπ), формулу для хвилі від 0 до A.

6Типові помилки

  • Поелементне перемноження двох сигналів замість їхньої згортки.
  • Зсув h без дзеркального відображення; це дає кореляцію, а не згортку.
  • Плутанина між імпульсною характеристикою та відгуком на східчастий сигнал: відгук на східчастий сигнал — це накопичувана сума або інтеграл від h.
  • Неправильний підрахунок гармонік: складова на частоті k/T — це гармоніка k.
Самоперевірка x[n] = {1, 2} і h[n] = {1, 1}, обидві від n = 0. Чому дорівнює y[1]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Відповідь: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Поелементний добуток x[1]·h[1] дає лише 2.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий рівень: дискретна згортка. Ви знаходите один відлік виходу, найбільший відлік, суму всіх відліків, перший або останній індекс y, вихід КІХ-фільтра чи відгук на східчастий сигнал.
  • Середній рівень: неперервна згортка. Ви знаходите y(t) у заданий момент для двох імпульсів, експоненти зі східчастим сигналом або імпульсом чи двох експонент, а також площу, початок, кінець або тривалість y.
  • Важкий рівень: імпульсні характеристики та ряди Фур’є. Ви знаходите h(t) для диференціального рівняння першого порядку, h[n] або відгук на східчастий сигнал для рекурсії, коефіцієнт підсилення чи фазу для синусоїди або гармоніку прямокутної, трикутної чи імпульсної хвилі.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Послідовності x[n] = {4, −3, −2} і h[n] = {3, 1} обидві починаються з n = 0. Знайдіть відлік y[1] згортки y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Знайти: y[1]

Показати підказки
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Для n = 1 доданки відповідають k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Дискретна згортка: вихід лінійної стаціонарної системи має вигляд y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: відобразіть h дзеркально, зсуньте на n, помножте відлік на відлік із x і додайте. Якщо x має Lx відліків, що починаються з nx, а h має Lh відліків, що починаються з nh, то y має Lx + Lh − 1 відліків, що починаються з nx + nh. Сума всіх відліків y дорівнює (Σx)·(Σh). КІХ-фільтр y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … — це згортка з h[n] = bn.

Доданки суми

Вносять внесок лише ті k, для яких існують і x[k], і h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Додайте

y[1] = −5

Відповідь

y[1] = −5
Приклад 2Середня
x(t)t11h(t)t1

Імпульс x(t) = 1 при 0 ≤ t < 1 s (в інших точках нуль) подано на систему з h(t) = e−2tu(t). Знайдіть вихід y(2,5) при t = 2,5 s, після закінчення імпульсу.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Знайти: y(2.5)

Показати підказки
  1. Запишіть імпульс як східчастий сигнал при t = 0 мінус східчастий сигнал при t = 1 s.
  2. Відгук на східчастий сигнал дорівнює (A/a)(1 − e−at).
  3. Після імпульсу: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Неперервна згортка: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Відобразіть h дзеркально, посуньте її в положення t та проінтегруйте добуток частин, що перекриваються. Для причинних сигналів інтеграл береться від 0 до t. Корисні результати: площа y дорівнює площі x, помноженій на площу h; якщо x триває від t₁ до t₂, а h — від t₃ до t₄, то y триває від t₁ + t₃ до t₂ + t₄. Для h(t) = e−atu(t) і східчастого сигналу висотою A маємо y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Вихід наприкінці імпульсу

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Спад після імпульсу

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Відповідь

y(2,5) = 0,02152
Приклад 3Складна
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Система описується рівнянням y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Знайдіть її імпульсну характеристику при t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Знайти: h(0.05)

Показати підказки
  1. Виконайте перетворення Лапласа за нульових початкових умов: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Імпульсна характеристика та ряд Фур’є: імпульсна характеристика h(t) повністю описує лінійну стаціонарну систему: для y′ + a·y = b·x вона має вигляд h(t) = b·e−atu(t), а для y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] — h[n] = b·aⁿu[n]. Синусоїда cos ωt проходить із коефіцієнтом підсилення |H(jω)| і фазою ∠H(jω), де H — перетворення Фур’є функції h. Періодичний сигнал є сумою гармонік на частотах k/T: прямокутна хвиля ±A має лише непарні гармоніки з амплітудами 4A/(kπ), трикутна хвиля з піком A має 8A/(π²k²), а послідовність імпульсів висотою A з коефіцієнтом заповнення D має середнє значення A·D і гармоніки (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Передатна функція

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Імпульсна характеристика

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Відповідь

h(0,05) = 2,336

Запитання й відповіді

Згортка та лінійні стаціонарні системи: що це?

Будь-який вхід можна уявити як ряд масштабованих і зсунутих імпульсів. Кожен імпульс дає масштабовану й зсунуту копію h, а вихід — це сума всіх копій. Ця сума і є згорткою y = x ∗ h.

Згортка з’являється всюди, де система має пам’ять: у фільтрах, датчиках, конструкціях, колах і в розпливанні сигналу в часі.

Згортка та лінійні стаціонарні системи: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Накресліть обидва сигнали й позначте, де кожен з них ненульовий.
  2. Віддзеркаліть h і зсувайте її: для кожного моменту виходу знайдіть діапазон, де обидва сигнали перекриваються.
  3. Перемножуйте й додавайте (дискретно) або перемножуйте й інтегруйте (неперервно) лише на цьому перекритті.
  4. Перевірте результат: вихід починається в суму моментів початку, закінчується в суму моментів завершення, а його площа чи сума дорівнює добутку площ чи сум входів.
Згортка та лінійні стаціонарні системи: які помилки найпоширеніші?
  • Поелементне перемноження двох сигналів замість їхньої згортки.
  • Зсув h без дзеркального відображення, що дає кореляцію.
  • Застосування формули відгуку на східчастий сигнал там, де запитано імпульсну характеристику, або навпаки.
  • Неправильний підрахунок номера гармоніки: складова на частоті k/T — це гармоніка k.
Згортка та лінійні стаціонарні системи: що ви тренуєте?
  • Легка: дискретна згортка
  • Середня: неперервна згортка
  • Складна: імпульсна характеристика та ряд Фур’є

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Інтеграли

Курси з цією темою

Сигнали та системиІнженерна математика 2

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулювання

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Згортка та лінійні стаціонарні системи» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Згортка та лінійні стаціонарні системиТренуйтеся зараз: Згортка та лінійні стаціонарні системиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.