Перехідна характеристика: задачі з покроковими розв’язками
Безкоштовні задачі з теми Перехідна характеристика з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: системи першого порядку, параметри другого порядку, фізичні системи та проєктування.
Безкоштовна задачаЛегка
Незаряджений конденсатор C = 47 µF заряджається від джерела сходинки 5 V через резистор R = 4,7 kΩ. Знайдіть напругу на конденсаторі vC при t = 220,9 ms.
Сходинка — це вхід, що стрибком переходить від 0 до сталого значення при t = 0 і потім лишається там. Уявіть вмикання нагрівача або натискання на педаль газу з утриманням.
Перехідна характеристика — це те, як вихід слідує за цим. Він не може змінитися миттєво: він рухається до нового кінцевого значення y(∞) і встановлюється там.
Крива a плавно зростає й ніколи не перерегульовує. Це система першого порядку, як RC-коло чи нагрітий резервуар.
Крива b перерегульовує, кілька разів коливається і потім встановлюється. Це недодемпфована система другого порядку, як підвіска автомобіля чи вантаж на пружині.
Кінцеве значення визначає DC-коефіцієнт G(0): сходинка розміром U встановлюється на y(∞) = G(0)·U. Це теорема про кінцеве значення з перетворень Лапласа.
Самоперевірка Система G(s) = 3/(2s + 1) отримує сходинку розміром 4. Чому дорівнює кінцеве значення y(∞)?
12
3
4
6
Відповідь: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, тож y(∞) = 3·4 = 12. Значення 4 забуває коефіцієнт, 3 забуває розмір сходинки, а 6 ділить на 2 в 2s, яке зникає при s = 0.
2Системи першого порядку
Система першого порядку має наведену нижче стандартну форму. K — це статичний коефіцієнт підсилення, а τ — стала часу в секундах.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Якщо G(s) записано як b/(s + a), поділіть чисельник і знаменник на a. Тоді K = b/a і τ = 1/a.
Через 1τ вихід виконав 63% своєї зміни, через 3τ — 95%, через 5τ — понад 99%.
Час досягнення частки x від кінцевого значення: t = −τ·ln(1 − x). Для 90%, t = τ·ln 10 = 2,3τ.
Час наростання від 10 до 90% дорівнює tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Для RC-кола τ = R·C. Зауважте, що kΩ, помножені на µF, дають мілісекунди.
Якщо виміряти відгук, можна знайти τ у зворотному напрямку. Якщо вихід досяг частки x у момент t, то τ = −t/ln(1 − x).
Розв’язаний приклад
G(s) = 10/(s + 5) отримує сходинку розміром 2 при t = 0. Знайдіть кінцеве значення та час досягнення 90% від нього.
1
Стандартна форма
Поділіть чисельник і знаменник на 5:
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Кінцеве значення
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Час до 90%
Розв’яжіть 1 − e−t/τ = 0,9, тож e−t/τ = 0,1:
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Відповідь
y(∞) = 4, і вихід досягає 90% через t ≈ 0,461 s.
Самоперевірка Яка стала часу G(s) = 10/(s + 5)?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Відповідь: 0,2 s. Записана як 2/(0,2s + 1), стала часу τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s плутає τ з a, а 2 — це коефіцієнт K, а не час.
3Системи другого порядку
Система другого порядку має квадратний знаменник. Порівняйте його зі стандартною формою:
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Вільний член — це ωn², тож власна частота ωn = √(вільний член), у rad/s.
Коефіцієнт при s — це 2ζωn, тож коефіцієнт демпфування ζ = (коефіцієнт при s)/(2ωn).
Для 0 < ζ < 1 відгук перерегульовує й коливається. Менше ζ означає більше перерегулювання.
Для одиничної сходинки кінцеве значення — G(0) = K/ωn². Форму відгуку описують п’ять чисел:
ωd — це демпфована частота: як швидко відгук коливається.
tp — це час піка, коли вихід найвищий. %OS — відсоток перерегулювання над кінцевим значенням.
ts — це час встановлення, після якого вихід лишається в межах 2% від кінцевого значення.
Два полюси: s = σ ± jωd, з дійсною частиною σ = −ζωn. Їхня відстань від початку координат дорівнює ωn, а cos θ = ζ.
Самоперевірка Система має знаменник s² + 4s + 25. Чому дорівнює коефіцієнт демпфування ζ?
0,08
0,4
0,8
2
Відповідь: 0,4. ωn = √25 = 5, а 2ζωn = 4 дає ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 забуває 2, 0,08 ділить на ωn² замість ωn, а 2 — це ζωn.
4Метод крок за кроком
Визначте порядок: знаменник степеня 1 — перший порядок, степеня 2 — другий порядок.
Перший порядок: запишіть G(s) як K/(τs + 1) і прочитайте K і τ.
Другий порядок: порівняйте знаменник із s² + 2ζωns + ωn². Спершу знайдіть ωn, потім ζ.
Знайдіть кінцеве значення y(∞) = G(0)·U.
Застосуйте формулу для того, що запитано: y(t), час, tp, %OS, ts або σ.
Перевірте одиниці: часи в секундах, ω у rad/s, а кут у формулах з e… та π — у радіанах.
5Розв’язаний приклад
Це типове запитання середнього рівня. Спробуйте кожен крок, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) отримує одиничну сходинку. Знайдіть ζ, ωn, відсоток перерегулювання та час піка.
1
Власна частота
Вільний член — це ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Коефіцієнт демпфування
Коефіцієнт при s — це 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ лежить між 0 і 1, тож відгук перерегульовує.
3
Відсоток перерегулювання
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Час піка
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Перевірте відповідь
Кінцеве значення G(0) = 16/16 = 1, тож пік приблизно 1,163. Рисунок у попередньому розділі використовує цю саму систему.
Час встановлення 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s пізніший за пік, як і має бути.
Відповідь
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3% і tp ≈ 0,907 s.
6Типові помилки
Вважати зростання лінійним. Експонента досягає 90% за 2,3τ, а не за 0,9τ: використовуйте t = −τ·ln(1 − x).
Використовувати ln(x) замість ln(1 − x). Логарифм береться від частини, якої ще бракує.
Читати τ = a з b/(s + a). Стала часу дорівнює 1/a.
Використовувати ωn² як ωn. Візьміть квадратний корінь із вільного члена.
Забувати 2 в 2ζωn або використовувати ωn замість ωd в tp = π/ωd.
Давати перерегулювання як частку (0,163), коли запитано відсотки (16,3%).
Самоперевірка G(s) = 2/(s + 4) отримує сходинку. Скільки часу вихід досягає 90% свого кінцевого значення?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Відповідь: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s і t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s вважає зростання лінійним (0,9τ). 0,026 s використовує ln(0,9) замість ln(0,1). 9,21 s використовує a = 4 замість τ.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: системи першого порядку. Ви знаходите y(∞), вихід у заданий момент, час досягнення певного відсотка, τ за виміряною точкою або час заряджання RC-кола.
Середньо: параметри другого порядку. З G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) ви знаходите ζ, ωn, %OS, tp, ts або дійсну частину σ полюсів.
Складно: фізичні системи та проєктування. Система маса–пружина–демпфер або RLC-коло, або ζ і ωn, знайдені з виміряного перерегулювання та часу піка.
Для маси m, демпфера c і пружини k рівняння m·x″ + c·x′ + k·x = F дає:
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Щоб знайти ζ за заданим перерегулюванням, розв’яжіть формулу %OS відносно ζ:
Система першого порядку G(s) = 2/(2s + 1) отримує на вході сходинку розміром 2 при t = 0, починаючи зі стану спокою. Знайдіть кінцеве значення y(∞) виходу.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Знайти: y(∞)
Показати підказки
Теорема про кінцеве значення: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) — це статичний коефіцієнт підсилення.
G(0) = 2.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перехідна характеристика: система першого порядку G(s) = K/(τs + 1) відповідає на сходинку розміром U як y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): вона досягає 63,2 % кінцевого значення K·U за одну сталу часу τ і 98 % за 4τ. Система другого порядку G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) має полюси s = −ζωₙ ± jωd, де ωd = ωₙ√(1 − ζ²). За 0 < ζ < 1 перехідна характеристика має перерегулювання: відсоток перерегулювання %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), час піку tp = π/ωd, а 2-відсотковий час встановлення ts ≈ 4/(ζωₙ). Порівняйте знаменник із s² + 2ζωₙs + ωₙ², щоб знайти ωₙ і ζ. Для системи маса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) і ζ = c/(2√(km)); для послідовного RLC-кола ωₙ = 1/√(LC) і ζ = (R/2)·√(C/L).
Статичний коефіцієнт підсилення
G(0) = 2
Кінцеве значення
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Відповідь
y(∞) = 4
Приклад 2Середня
Система має передатну функцію G(s) = 213/(s² + 8s + 71) і отримує на вході одиничну сходинку. Знайдіть відсоток перерегулювання %OS перехідної характеристики.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Знайти: %OS(%)
Показати підказки
Порівняйте знаменник із s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перехідна характеристика: система першого порядку G(s) = K/(τs + 1) відповідає на сходинку розміром U як y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): вона досягає 63,2 % кінцевого значення K·U за одну сталу часу τ і 98 % за 4τ. Система другого порядку G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) має полюси s = −ζωₙ ± jωd, де ωd = ωₙ√(1 − ζ²). За 0 < ζ < 1 перехідна характеристика має перерегулювання: відсоток перерегулювання %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), час піку tp = π/ωd, а 2-відсотковий час встановлення ts ≈ 4/(ζωₙ). Порівняйте знаменник із s² + 2ζωₙs + ωₙ², щоб знайти ωₙ і ζ. Для системи маса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) і ζ = c/(2√(km)); для послідовного RLC-кола ωₙ = 1/√(LC) і ζ = (R/2)·√(C/L).
Порівняйте зі стандартною формою
Знаменник має збігатися з s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Результат
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Відповідь
%OS = 18,37 %
Приклад 3Складна
Маса m = 2,5 kg висить на пружині k = 800 N/m з в’язким демпфером c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). З положення рівноваги в спокої раптово прикладають сталу силу F = 10 N. Знайдіть момент tp, коли зміщення найбільше.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Знайти: tp(s)
Показати підказки
Поділіть на m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, тож ωₙ = √(k/m) і ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Кінцеве зміщення дорівнює F/k = 12,5 mm.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перехідна характеристика: система першого порядку G(s) = K/(τs + 1) відповідає на сходинку розміром U як y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): вона досягає 63,2 % кінцевого значення K·U за одну сталу часу τ і 98 % за 4τ. Система другого порядку G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) має полюси s = −ζωₙ ± jωd, де ωd = ωₙ√(1 − ζ²). За 0 < ζ < 1 перехідна характеристика має перерегулювання: відсоток перерегулювання %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), час піку tp = π/ωd, а 2-відсотковий час встановлення ts ≈ 4/(ζωₙ). Порівняйте знаменник із s² + 2ζωₙs + ωₙ², щоб знайти ωₙ і ζ. Для системи маса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) і ζ = c/(2√(km)); для послідовного RLC-кола ωₙ = 1/√(LC) і ζ = (R/2)·√(C/L).
Власна частота й коефіцієнт демпфування
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Результат
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Відповідь
tp = 0,1765 s
Запитання й відповіді
Перехідна характеристика: що це?
Крива a плавно зростає й ніколи не перерегульовує. Це система першого порядку, як RC-коло чи нагрітий резервуар.
Крива b перерегульовує, кілька разів коливається і потім встановлюється. Це недодемпфована система другого порядку, як підвіска автомобіля чи вантаж на пружині.
Перехідна характеристика: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Перехідна характеристика: система першого порядку G(s) = K/(τs + 1) відповідає на сходинку розміром U як y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): вона досягає 63,2 % кінцевого значення K·U за одну сталу часу τ і 98 % за 4τ. Система другого порядку G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) має полюси s = −ζωₙ ± jωd, де ωd = ωₙ√(1 − ζ²). За 0 < ζ < 1 перехідна характеристика має перерегулювання: відсоток перерегулювання %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), час піку tp = π/ωd, а 2-відсотковий час встановлення ts ≈ 4/(ζωₙ). Порівняйте знаменник із s² + 2ζωₙs + ωₙ², щоб знайти ωₙ і ζ. Для системи маса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) і ζ = c/(2√(km)); для послідовного RLC-кола ωₙ = 1/√(LC) і ζ = (R/2)·√(C/L).
Перехідна характеристика: які помилки найпоширеніші?
Вихід встановлюється на K·U, а не на U: статичний коефіцієнт підсилення G(0) = 2.
Виразіть перерегулювання у відсотках: помножте на 100.
Показник степеня дорівнює −ζπ/√(1 − ζ²).
Перехідна характеристика: що ви тренуєте?
Легка: системи першого порядку
Середня: параметри другого порядку
Складна: фізичні системи та проєктування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.