Метод накладання: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: принцип накладання · принцип суперпозиції · метод суперпозиції
Безкоштовні задачі з теми Метод накладання з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: 2 джерела напруги, джерело напруги + джерело струму, 3 джерела.
Безкоштовна задачаЛегка
Скористайтеся методом накладання, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.
У багатьох колах є більше ніж одне джерело: дві батареї або батарея й джерело струму.
Розв’язувати все одразу може бути важко. Метод накладання дає змогу розбити задачу на простіші частини.
Ідея: кожне джерело створює у колі власний струм. Справжній струм у резисторі дорівнює сумі того, що створює кожне джерело окремо.
Уявіть два крани, що наповнюють одну ванну. Рівень води зростає на те, що додає перший кран, плюс те, що додає другий.
Самоперевірка Що дає змогу робити метод накладання?
Ігнорувати всі джерела, крім найбільшого
Замінити всі резистори одним резистором
Перемножити дії джерел
Розв’язати коло по одному разу для кожного джерела й додати результати
Відповідь: Розв’язати коло по одному разу для кожного джерела й додати результати. Ви розглядаєте по одному джерелу, знаходите, що воно створює, і наприкінці додаєте всі внески.
2Вимикання джерела
Щоб розглянути одне джерело окремо, інші джерела вимикають. Вимкнути означає обнулити джерело.
Джерело напруги, обнулене до 0 V, стає простим дротом (коротким замиканням).
Джерело струму, обнулене до 0 A, стає розривом (розімкненим колом).
Вимикають лише джерела. Кожен резистор залишається на своєму місці.
Це працює для кіл із резисторів і незалежних джерел. Такі кола називають лінійними: подвоєння джерела подвоює все, що воно створює.
Самоперевірка Як вимкнути джерело струму?
Замінити його коротким замиканням (дротом)
Замінити його резистором 1 Ω
Замінити його розімкненим колом (розривом)
Прибрати резистор поруч із ним
Відповідь: Замінити його розімкненим колом (розривом). Вимкнене джерело струму дає 0 A. Лише розрив не пропускає струм за будь-якої напруги.
3Потрібні інструменти
Кожне простіше коло має лише одне джерело, тож його можна розв’язати за допомогою послідовного й паралельного з’єднання резисторів.
Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)
Дільник напруги — інструмент, яким користуються найчастіше. Два послідовні резистори ділять напругу джерела пропорційно до своїх опорів:
V2 = V · R2 / (R1 + R2)
Далі закон Ома, I = V/R, дає струм у будь-якому резисторі, коли відома його напруга.
Самоперевірка Джерело 12 V живить послідовно з’єднані резистори 6 Ω і 2 Ω. Яка напруга на резисторі 2 Ω?
3 V
4 V
6 V
9 V
Відповідь: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. Менший резистор отримує меншу частку напруги.
4Метод крок за кроком
Порахуйте незалежні джерела. Для кожного з них ви розв’яжете одне простіше коло.
Залиште одне джерело й вимкніть усі інші: джерела напруги стають дротами, джерела струму — розривами.
Розв’яжіть простіше коло для потрібної величини. Зберігайте той самий напрям (або ті самі + і −), що й в умові.
Повторіть для кожного джерела.
Додайте всі внески з їхніми знаками. Внесок у протилежному напрямі вважається від’ємним.
Перш ніж рахувати, намалюйте кожне простіше коло. Більшість помилок виникає через те, що розв’язують одне коло, а дивляться на початковий рисунок.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Знайдіть струм I3 через R3 (донизу) в цьому колі.
1
Погляньте на коло
Є два джерела: V1 = 12 V і V2 = 6 V. Тож розв’язуємо два простіші кола.
2
Увімкнено лише V₁
Замініть V2 дротом. Тепер R2 іде від вузла A прямо до нижнього дроту, тож R2 і R3 з’єднані паралельно.
R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3
Дільник напруги для V₁
V1 бачить R1 = 6 Ω, з’єднаний послідовно з паралельною парою 2 Ω. Напруга у вузлі A — це частка частини 2 Ω:
VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4
Увімкнено лише V₂
Тепер замініть V1 дротом. R1 і R3 з’єднані паралельно: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.
VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5
Додайте складові
Обидва внески течуть донизу через R3, тож обидва додатні.
I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6
Перевірте відповідь
Коли ввімкнено обидва джерела, VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. Струми у вузол A з обох боків: (12 − 4,5)/6 = 1,25 A і (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.
Разом це 1,5 A — точно такий струм, що виходить через R3. Відповідь правильна.
Відповідь
I3 = 1,5 A, напрямлений донизу.
6Типові помилки
Прибрати джерело напруги й залишити розрив. Вимкнене джерело напруги — це дріт.
Додавати внески, не перевіряючи їхніх напрямів. Малюйте стрілку для кожного внеску.
Рахувати потужність методом накладання. Потужність не лінійна: спершу знайдіть повний струм, потім P = I²·R.
Забути про джерело. Для трьох джерел потрібні три простіші кола.
Самоперевірка У прикладі I₃′ = 1 A і I₃″ = 0,5 A в резисторі 3 Ω. Яку потужність споживає R₃?
2,25 W
3,75 W
4,5 W
6,75 W
Відповідь: 6,75 W. Спершу додайте струми: 1,5 A. Тоді P = 1,5² · 3 = 6,75 W. Додавати дві окремі потужності (3 + 0,75 = 3,75 W) неправильно, бо потужність не лінійна.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкі: два джерела напруги й три резистори. Кожне простіше коло — це дільник напруги.
Середні: джерело напруги й джерело струму. Пам’ятайте, що вимкнене джерело струму стає розривом.
Складні: три джерела, а шуканою величиною може бути напруга у вузлі або струм у гілці.
У деяких запитаннях є лише вимірювання. Наприклад: з обома ввімкненими джерелами струм дорівнює 6,5 mA, а з вимкненим V2 — 4,5 mA. Тоді V2 окремо створює 2 mA.
Оскільки коло лінійне, подвоєння V1 подвоює його внесок. Користуйтеся цим, щоб передбачити струм після зміни джерела.
Скористайтеся методом накладання, щоб знайти напругу VR3 на R3 з указаною полярністю.
V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω
Знайти: VR3(V)
Показати підказки
Це коло має 2 незалежні джерела, тож розв’яжіть 2 простіші кола — по одному на кожне джерело. Інші вимкніть: джерело напруги стає коротким замиканням, джерело струму — розривом.
Коли діє лише V₁, R₂ і R₃ виявляються паралельними. Скористайтеся дільником напруги, щоб знайти напругу у вузлі A.
Коли діє лише V1, VR3′ = 2,634 V. Іншу складову знайдіть так само й додайте.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.
Випадок 1 · діє лише V1
V₂ стає коротким замиканням, тож R₂ тепер іде від A до землі, паралельно з R₃.
R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
Випадок 2 · діє лише V2
V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ тепер іде від A до землі, паралельно з R₃.
R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V
Додайте складові
VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V
Від’ємний результат означає, що насправді полярність протилежна вказаній.
Приклад 2Середня
За методом накладання знайдіть потужність PR4, яку споживає R4.
Це коло має 2 незалежні джерела, тож розв’яжіть 2 простіші кола — по одному на кожне джерело. Інші вимкніть: джерело напруги стає коротким замиканням, джерело струму — розривом.
Знайдіть струм IR4 через R4 методом накладання, потім піднесіть його до квадрата: P = I²R.
Коли діє лише V1, IR4′ = 0,07059 A.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.
Випадок 1 · діє лише V1
Iₛ стає розривом, тож R₃ і R₄ утворюють одну послідовну гілку від A до землі, паралельну R₂.
R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
Випадок 2 · діє лише Is
V₁ стає коротким замиканням, тож R₁ паралельний R₂. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ і шляхом через R₃.
R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A
Додайте внески струму
IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A
Потужність у резисторі
Потужність залежить від квадрата струму, тож метод накладання до неї не застосовний: спочатку додайте струми, потім піднесіть до квадрата.
PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W
Відповідь
PR4 = 14,06 W
Сума потужностей окремих випадків дала б 12,34 W, а це неправильно.
Приклад 3Складна
Скористайтеся методом накладання, щоб знайти напругу VR2 на R2 з указаною полярністю.
Це коло має 3 незалежні джерела, тож розв’яжіть 3 простіші кола — по одному на кожне джерело. Інші вимкніть: джерело напруги стає коротким замиканням, джерело струму — розривом.
Почніть лише з V₁: закоротіть V₂, розімкніть Iₛ. З боку A резистор R₃ паралельний R₂+R₄.
Коли діє лише V1, VR2′ = 0,6379 V. Інші складові знайдіть так само й додайте.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Метод накладання: у лінійному колі будь-яка напруга чи струм дорівнює сумі відгуків на кожне незалежне джерело, що діє окремо. Щоб вимкнути джерело, замініть ідеальне джерело напруги коротким замиканням, а ідеальне джерело струму — розривом. Резистори залишаються на місці.
Випадок 1 · діє лише V1
V₂ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. З боку A резистор R₃ паралельний послідовній парі R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
Випадок 2 · діє лише Is
Обидва джерела напруги стають короткими замиканнями. Iₛ у точці B розгалужується між R₄ (тепер до землі) і R₂, послідовним із R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, тож лівий шлях — R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
Випадок 3 · діє лише V2
V₁ стає коротким замиканням, а Iₛ — розривом. R₁ ∥ R₃ відходить від A, послідовно з R₂ назад до B.
R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V
Додайте складові
VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V
Від’ємний результат означає, що насправді полярність протилежна вказаній.
Запитання й відповіді
Метод накладання: що це?
У багатьох колах є більше ніж одне джерело: дві батареї або батарея й джерело струму.
Розв’язувати все одразу може бути важко. Метод накладання дає змогу розбити задачу на простіші частини.
Метод накладання: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Порахуйте незалежні джерела. Для кожного джерела ви розв’яжете одне простіше коло.
Залиште одне джерело й вимкніть інші: джерело напруги стає коротким замиканням (провідником), джерело струму — розривом.
Розв’яжіть простіше коло щодо потрібної напруги чи струму, стежачи за напрямком.
Повторіть для кожного джерела, потім додайте внески з урахуванням знаків.
Метод накладання: які помилки найпоширеніші?
Видалення джерела напруги замість заміни його провідником.
Додавання внесків без перевірки їхніх напрямків.
Застосування накладання до потужності: потужність не лінійна, тож спершу знайдіть сумарний струм, а потім потужність.
Метод накладання: що ви тренуєте?
Легка: 2 джерела напруги
Середня: джерело напруги + джерело струму
Складна: 3 джерела
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.