Трансформатори: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Трансформатори з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: коефіцієнт трансформації, струми й потужність, ККД і втрати.

Безкоштовна задачаЛегка
N1​ = 5000N2​ = ?11500 V230 V

Ідеальний трансформатор має знижувати 11500 V до 230 V. Його первинна обмотка має 5000 витків. Скільки витків N2 потрібно вторинній обмотці?

V1 = 11500 VV2 = 230 VN1 = 5000
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: ТрансформаториТренуйтеся зараз: ТрансформаториБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкакоефіцієнт трансформації
  2. Середняструми й потужність
  3. СкладнаККД і втрати

Основні формули

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Вивчайте тему «Трансформатори» з нуля

Перед цим: Повний опір і комплексні амплітуди

1Що таке трансформатор

Трансформатор змінює змінну напругу на вищу або нижчу змінну напругу. Електростанції підвищують напругу, щоб передавати енергію далеко; місцеві трансформатори знижують її до 230 V для домівок.

Він має дві котушки дроту, намотані на одному залізному осерді. Котушка, підключена до живлення, — це первинна (1). Котушка, підключена до навантаження, — це вторинна (2).

RL​N1​N2​V1​V2​

Змінний струм у первинній обмотці створює змінне магнітне поле в осерді. Це змінне поле індукує напругу в кожному витку вторинної обмотки.

Постійний струм створює стале поле, а стале поле нічого не індукує. Тому трансформатор працює лише зі змінним струмом.

Самоперевірка Що дає ідеальний трансформатор на вторинній обмотці, коли його первинну обмотку під’єднано до батареї 12 V (постійний струм)?
  1. 0 V, бо стале поле не індукує напруги
  2. 12 V, так само, як на первинній
  3. Змінну напругу 12 V
  4. Напругу, задану коефіцієнтом трансформації

Відповідь: 0 V, бо стале поле не індукує напруги. Лише змінне магнітне поле індукує напругу. Постійний струм створює стале поле, тож вторинна обмотка нічого не дає, коли струм усталиться.

2Коефіцієнт трансформації

Кожен виток дроту на осерді отримує однакову напругу. Тому напруга кожної котушки пропорційна кількості її витків N.

a = N1 / N2 = V1 / V2

Ідеальний трансформатор не втрачає потужності, тож потужність на вході дорівнює потужності на виході: V1·I1 = V2·I2. Тому струми йдуть навпаки:

I1 / I2 = N2 / N1 = 1/a
  • Знижувальний (a > 1): нижча напруга, вищий струм на вторинній обмотці.
  • Підвищувальний (a < 1): вища напруга, нижчий струм на вторинній обмотці.
Самоперевірка Ідеальний трансформатор має 400 витків первинної та 200 витків вторинної обмотки. На первинній 240 V. Яка напруга на вторинній?
  1. 120 V
  2. 240 V
  3. 480 V
  4. 60 V

Відповідь: 120 V. V2 = V1·N2/N1 = 240·200/400 = 120 V. Якщо перевернути відношення, вийде 480 V.

3Метод крок за кроком

  1. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N1/N2 або a = V1/V2 за номінальними напругами.
  2. Знайдіть напругу з іншого боку: V2 = V1/a.
  3. Якщо підключено навантаження, знайдіть його струм за законом Ома: I2 = V2/RL.
  4. Знайдіть струм з іншого боку: I1 = I2/a. Сторона високої напруги несе малий струм.
  5. Перевірте за потужністю: V1·I1 має дорівнювати V2·I2.

Швидка перевірка здорового глузду: сторона з більшою кількістю витків має вищу напругу й нижчий струм.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Ідеальний трансформатор із коефіцієнтом витків N1:N2 = 10:1 має на первинній обмотці 2300 V. До вторинної підключено резистор 23 Ω. Знайдіть V2, I2 і первинний струм I1.

1

Погляньте на коло

23 ΩN1​ = 10N2​ = 12300 VV2​ ?I1​I2​

Коефіцієнт трансформації a = 10, тож це знижувальний трансформатор.

2

Вторинна напруга

V2 = V1 / a = 2300 / 10 = 230 V
3

Вторинний струм

I2 = V2 / RL = 230 / 23 = 10 A
4

Первинний струм

Відношення струмів обернене до відношення напруг.

I1 = I2 / a = 10 / 10 = 1 A
5

Перевірте відповідь

Потужність на вході: 2300·1 = 2300 W. Потужність на виході: 230·10 = 2300 W. Вони рівні, як і має бути для ідеального трансформатора.

Відповідь

V2 = 230 V, I2 = 10 A і I1 = 1 A.

5Номінали, приведені навантаження та втрати

Трансформатор має номінал у kVA, наприклад «10 kVA, 7200/240 V». Номінальний струм кожної обмотки дорівнює номіналу, поділеному на напругу цієї обмотки:

I = S / V

З боку первинної обмотки навантаження RL на вторинній виглядає більшим у a² раза:

RL′ = a²·RL

У прикладі 23 Ω виглядає як 10²·23 = 2300 Ω з боку первинної. Тоді I1 = 2300/2300 = 1 A, та сама відповідь.

Реальний трансформатор має два види втрат:

  • Втрати в осерді Pcore: у залізі. Вони однакові за будь-якого навантаження.
  • Втрати в міді Pcu: в обмотках. Вони зростають пропорційно квадрату частки навантаження x (x = 0,5 за половинного навантаження): Pcu = x²·Pcu,fl.
η = x·S·pf / (x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)

ККД найвищий за навантаження, при якому втрати в міді дорівнюють втратам в осерді:

x = √(Pcore / Pcu,fl)
Самоперевірка Трансформатор 25 kVA має втрати в осерді 75 W і втрати в міді за повного навантаження 300 W. За якого навантаження його ККД найвищий?
  1. 12,5 kVA
  2. 25 kVA
  3. 50 kVA
  4. 6,25 kVA

Відповідь: 12,5 kVA. x = √(75/300) = √0,25 = 0,5, тож 0,5·25 = 12,5 kVA. Пропуск квадратного кореня дає x = 0,25 і 6,25 kVA.

6Типові помилки

  • Перевертати відношення. Сторона з більшою кількістю витків має вищу напругу.
  • Використовувати відношення напруг для струмів. Струми йдуть навпаки: сторона високої напруги має малий струм.
  • Використовувати не ту напругу обмотки для номінального струму. Кожна обмотка використовує власну напругу в I = S/V.
  • Масштабувати втрати в міді з x замість x². За половинного навантаження вони становлять чверть від значення за повного.
Самоперевірка Трансформатор 10 kVA, 7200/240 V працює за номінального навантаження. Який струм тече в обмотці низької напруги?
  1. 0,0417 A
  2. 1,39 A
  3. 30 A
  4. 41,7 A

Відповідь: 41,7 A. I = S/V = 10000/240 = 41,7 A. Використання 7200 V дає струм високої напруги, 1,39 A. Залишення S у kVA дає 0,0417 A, а 30 — це лише коефіцієнт трансформації.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: коефіцієнт трансформації. Ви знаходите вторинну напругу або кількість витків вторинної обмотки для заданого зниження.
  • Середньо: струми та потужність. Ви знаходите номінальний струм обмотки, первинний струм з резистором на вторинній, опір, який бачить первинна, або коефіцієнт трансформації, що узгоджує гучномовець із підсилювачем.
  • Складно: ККД і втрати. Ви знаходите повні втрати за часткового навантаження, навантаження для максимального ККД або втрати в міді за повного навантаження за заданим ККД.

Для узгодження навантаження має виглядати як опір джерела: a²·RL = Rsource, тож a = √(Rsource/RL).

Для втрат за часткового навантаження додайте сталі втрати в осерді та x²·Pcu,fl. Коефіцієнт потужності важливий для вихідної потужності, а не для втрат.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
N1​ = 60N2​ = 3000240 VV2​ = ?

Ідеальний трансформатор має 60 витків первинної обмотки й 3000 витків вторинної обмотки. Первинну обмотку підключено до мережі змінного струму 240 V. Знайдіть вторинну напругу V2.

N1 = 60N2 = 3000V1 = 240 V

Знайти: V2 (V)

Показати підказки
  1. Напруга на один виток однакова в обох обмотках.
  2. V₂/V₁ = N₂/N₁.
  3. N₂/N₁ = 50.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Відношення напруг дорівнює відношенню витків

V2 = V1·N2/N1 = 240·3000/60 = 12000 V

Відповідь

V2 = 12000 V
Приклад 2Середня
4 ΩN1​N2​256 Ω

Підсилювач з вихідним опором 256 Ω живить гучномовець 4 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 256 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω

Знайти: a

Показати підказки
  1. З боку первинної обмотки навантаження виглядає як a²·RL.
  2. Прирівняйте a²·RL до вихідного опору підсилювача.
  3. a² = 256/4.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

Відповідь

a = 8
Приклад 3Складна
pf 0,9525 kVA, 25% навантаження

Однофазний трансформатор 25 kVA має втрати в сталі 75 W і втрати в міді 300 W при номінальному навантаженні. Він віддає 25% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,95 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати Ploss у ватах при цьому навантаженні.

S = 25 kVAPcore = 75 WPcu,fl = 300 Wx = 0,25pf = 0,95

Знайти: Ploss (W)

Показати підказки
  1. Які втрати змінюються з навантаженням, а які ні?
  2. Втрати в міді ∝ I², а струм пропорційний навантаженню.
  3. x² = 0,0625.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·300 = 18,75 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

Ploss = 75 + 18,75 = 93,75 W

Відповідь

Ploss = 93,75 W

ККД при цьому навантаженні η = 98,45%.

Запитання й відповіді

Трансформатори: що це?

Трансформатор змінює змінну напругу на вищу або нижчу змінну напругу. Електростанції підвищують напругу, щоб передавати енергію далеко; місцеві трансформатори знижують її до 230 V для домівок.

Він має дві котушки дроту, намотані на одному залізному осерді. Котушка, підключена до живлення, — це первинна (1). Котушка, підключена до навантаження, — це вторинна (2).

Трансформатори: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Трансформатори: які помилки найпоширеніші?
  • Коефіцієнт трансформації перевернуто. Вторинна обмотка має більше витків, тож цей трансформатор підвищує напругу: V2 = V1·N2/N1.
  • Опір перераховується з квадратом коефіцієнта трансформації, тож візьміть квадратний корінь: a = √(Rs/RL).
  • Відношення перевернуто. Первинна обмотка працює на більший опір, тож їй потрібно більше витків.
Трансформатори: що ви тренуєте?
  • Легка: коефіцієнт трансформації
  • Середня: струми й потужність
  • Складна: ККД і втрати

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Повний опір і комплексні амплітуди

Калькулятори

Калькулятор коефіцієнта трансформації

Курси з цією темою

Основи електротехнікиЕлектроенергетичні системи та електричні машиниПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Трансформатори» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: ТрансформаториТренуйтеся зараз: ТрансформаториБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.