Двигуни постійного струму: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Двигуни постійного струму з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: зворотна ЕРС, струм і момент, механічна характеристика та ККД, пуск і регулювання швидкості.

Безкоштовна задачаЛегка
+−240 VRa​M+−E = 216 Vn = 1800 rpmT

Двигун постійного струму обертається з частотою 1800 rpm, а його зворотна ЕРС на цій швидкості дорівнює 216 V. Знайдіть константу двигуна k у V·s/rad.

E = 216 Vn = 1800 rpm
V·s/rad
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Двигуни постійного струмуТренуйтеся зараз: Двигуни постійного струмуБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легказворотна ЕРС, струм і момент
  2. Середнямеханічна характеристика та ККД
  3. Складнапуск і регулювання швидкості

Як розв’язувати задачі на тему «Двигуни постійного струму»

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

Типові помилки

  • Залишення швидкості в rpm у формулах E = k·ω або P = T·ω.
  • Забуття того, що зворотна ЕРС у стані спокою дорівнює нулю, через що пусковий струм дуже великий.
  • Додавання спаду на якорі до напруги живлення замість віднімання.
  • Збереження незмінного струму після послаблення поля: той самий момент потребує більшого струму.

Основні формули

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Вивчайте тему «Двигуни постійного струму» з нуля

Перед цим: Послідовні й паралельні резистори

1Що таке двигун постійного струму

Двигун постійного струму перетворює електричну потужність на обертання. Струм в обмотці, що обертається, — якорі — перебуває в магнітному полі й зазнає дії сили, яка дає момент на валу.

Коли якір обертається, він діє ще й як генератор. Він створює напругу, що протидіє живленню: зворотну ЕРС E. Що швидше він обертається, то більша E.

+−VRa​M+−EωT

З електричного боку якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС. Ця проста модель пояснює, як швидкість, момент і струм залежать одне від одного.

Самоперевірка Яка зворотна ЕРС двигуна постійного струму в момент його вмикання, до початку обертання?
  1. Дорівнює напрузі живлення
  2. Нуль
  3. Половина напруги живлення
  4. Така сама, як на повній швидкості

Відповідь: Нуль. Зворотна ЕРС пропорційна швидкості, E = k·ω. У стані спокою ω = 0, тож E = 0 і струм обмежує лише Ra.

2Чотири рівняння двигуна

Обійдіть коло якоря:

V = E + Ia·Ra

Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, а момент — зі струмом, з однаковою константою двигуна k в одиницях SI (V·s/rad = N·m/A):

E = k·ω T = k·Ia

Швидкості часто задають в обертах за хвилину. Переведіть їх, перш ніж користуватися рівняннями:

ω = 2π·n/60

Потужність, перетворена в механічну, — це розвинена потужність E·Ia = T·ω. Споживана потужність — V·Ia, а різниця Ia²Ra втрачається як тепло в якорі.

Самоперевірка Двигун має k = 0,5 N·m/A і споживає струм якоря 8 A. Який момент він розвиває?
  1. 0,0625 N·m
  2. 16 N·m
  3. 4 N·m
  4. 8 N·m

Відповідь: 4 N·m. T = k·Ia = 0,5·8 = 4 N·m. Якщо поділити струм на k, вийде 16, а якщо поділити k на струм — 0,0625.

3Метод крок за кроком

  1. Накресліть коло якоря й випишіть, що дано: V, Ra, k, а також момент навантаження, струм або швидкість.
  2. Якщо задано момент, знайдіть струм із Ia = T/k.
  3. Знайдіть зворотну ЕРС із V = E + IaRa.
  4. Знайдіть швидкість із ω = E/k і за потреби переведіть у rpm: n = 60·ω/(2π).
  5. Для потужності та ККД почніть із V·Ia і відніміть втрати в міді, а потім втрати на обертання.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Двигун постійного струму з Ra = 0,5 Ω і k = 0,8 V·s/rad працює від 120 V і приводить навантаження з моментом 8 N·m. Знайдіть його струм якоря, швидкість у rpm і розвинену потужність.

1

Погляньте на коло

+−120 VRa​ = 0,5 ΩIa​ ?M+−En ?T = 8 N·m

Момент навантаження задає струм; струм задає спад напруги; зворотна ЕРС тоді задає швидкість.

2

Струм якоря

Ia = T/k = 8/0,8 = 10 A
3

Зворотна ЕРС

E = V − IaRa = 120 − 10·0,5 = 115 V
4

Швидкість

ω = E/k = 115/0,8 = 143,75 rad/s
n = 60·143,75/(2π) = 1373 rpm
5

Розвинена потужність і перевірка

Pdev = E·Ia = 115·10 = 1150 W

Перевірка з боку вала: T·ω = 8·143,75 = 1150 W. Споживана потужність — 120·10 = 1200 W, тож 50 W втрачається в Ra.

Відповідь

Ia = 10 A, n = 1373 rpm і Pdev = 1150 W.

5Механічна характеристика, пуск і регулювання швидкості

Поєднання рівнянь дає пряму лінію: швидкість трохи спадає зі зростанням моменту навантаження.

ω = V/k − Ra·T/k²
Tn14321928 N·m, 1373
  • Швидкість неробочого ходу (T = 0): ω0 = V/k. У прикладі 150 rad/s, тобто 1432 rpm.
  • Стопорний момент (ω = 0): T = k·V/Ra = 0,8·120/0,5 = 192 N·m.
  • Пусковий струм: V/Ra = 240 A, набагато більше за робочий струм. Послідовний пусковий резистор утримує його в межах.
  • Регулювання швидкості: зменшіть напругу якоря (наприклад, чопером, Va = D·Vdc), додайте послідовний опір або послабте поле, щоб працювати вище за базову швидкість.
Самоперевірка Двигун на 120 V з Ra = 0,5 Ω має запускатися зі струмом не більше 30 A. Який пусковий резистор потрібен?
  1. 0,5 Ω
  2. 3,5 Ω
  3. 4 Ω
  4. 4,5 Ω

Відповідь: 3,5 Ω. Повний опір має бути 120/30 = 4 Ω. Якір уже дає 0,5 Ω, тож резистор дорівнює 4 − 0,5 = 3,5 Ω. Якщо додати Ra замість віднімати, вийде 4,5 Ω.

6Типові помилки

  • Залишення швидкості в rpm у формулах E = k·ω або P = T·ω.
  • Додавання спаду на якорі до напруги живлення замість віднімання: у двигуні E менша за V.
  • Забуття того, що зворотна ЕРС у стані спокою дорівнює нулю.
  • Збереження незмінного струму після послаблення поля: при меншому k той самий момент потребує більшого струму.
Самоперевірка Двигун має зворотну ЕРС 100 V при 1000 rpm. Яка його константа двигуна k?
  1. 0,0159 V·s/rad
  2. 0,1 V·s/rad
  3. 0,955 V·s/rad
  4. 6 V·s/rad

Відповідь: 0,955 V·s/rad. ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s, тож k = 100/104,7 = 0,955. Якщо ділити безпосередньо на rpm, вийде 0,1, а якщо забути 60 — 0,0159.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий рівень: зворотна ЕРС, струм і момент. Ви знаходите E, Ia, момент із k, константу двигуна за швидкістю, швидкість, пусковий струм або розвинену потужність.
  • Середній рівень: механічна характеристика та ККД. Ви знаходите швидкість неробочого ходу, швидкість при навантаженні, стопорний момент, ККД із втратами на обертання, регулювання швидкості або момент на валу за потужністю.
  • Важкий рівень: пуск і регулювання швидкості. Ви добираєте пусковий резистор, знаходите напругу якоря чи послідовний опір для заданої швидкості, швидкість після послаблення поля, коефіцієнт заповнення чопера, максимальну потужність або швидкість після зміни навантаження.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
+−120 VRa​Ia​ = 8 AM+−EωT = ?

Двигун постійного струму з постійними магнітами має константу моменту k = 0,6 N·m/A. Знайдіть момент T, який він розвиває при струмі якоря 8 A.

k = 0,6 N·m/AIa = 8 A

Знайти: T (N·m)

Показати підказки
  1. Константа моменту пов’язує момент і струм якоря.
  2. T = k·Ia.
  3. T = 0,6·8.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Крутний момент

T = k·Ia = 0,6·8 = 4,8 N·m

Відповідь

T = 4,8 N·m

В одиницях SI та сама k є константою зворотної ЕРС у V·s/rad.

Приклад 2Середня
T (N·m)n (rpm)20 N·mn0​n = ?

Двигун постійного струму (k = 0,8 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) працює від 110 V і приводить навантаження з моментом 20 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.

V = 110 Vk = 0,8 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 20 N·m

Знайти: n (rpm)

Показати підказки
  1. Момент задає струм: Ia = T/k.
  2. Ia = 20/0,8 = 25 A.
  3. ω = (V − IaRa)/k.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Струм якоря

Ia = T/k = 20/0,8 = 25 A

Зворотна ЕРС і швидкість

E = 110 − 25·0,4 = 100 V
ω = E/k = 125 rad/s → n = 1194 rpm

Відповідь

n = 1194 rpm
Приклад 3Складна
+−120 VRa​ = 1 ΩM+−En = ?T = 6 N·m

Двигун постійного струму незалежного збудження (k = 1,5 V·s/rad при повному полі, Ra = 1 Ω, V = 120 V) приводить навантаження зі сталим моментом 6 N·m. Магнітний потік збудження зменшують до 75 % від повного значення. Знайдіть нову швидкість n.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radRa = 1 ΩT = 6 N·mΦ = 75 %

Знайти: n (rpm)

Показати підказки
  1. Обидві константи масштабуються з потоком: k₂ = 0,75·k = 1,125.
  2. Ia = T/k₂ = 5,333 A.
  3. ω = (V − IaRa)/k₂.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Константа двигуна при послабленому полі

k₂ = 0,75·1,5 = 1,125 V·s/rad

Новий струм якоря

Ia = 6/1,125 = 5,333 A

Нова швидкість

ω = (120 − 5,333·1)/1,125 = 101,9 rad/s → n = 973,3 rpm

Відповідь

n = 973,3 rpm

Послаблення поля — це спосіб, яким привід постійного струму працює вище за базову швидкість.

Запитання й відповіді

Двигуни постійного струму: що це?

Двигун постійного струму перетворює електричну потужність на обертання. Струм в обмотці, що обертається, — якорі — перебуває в магнітному полі й зазнає дії сили, яка дає момент на валу.

Коли якір обертається, він діє ще й як генератор. Він створює напругу, що протидіє живленню: зворотну ЕРС E. Що швидше він обертається, то більша E.

Двигуни постійного струму: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Двигуни постійного струму: які помилки найпоширеніші?
  • Залишення швидкості в rpm у формулах E = k·ω або P = T·ω.
  • Забуття того, що зворотна ЕРС у стані спокою дорівнює нулю, через що пусковий струм дуже великий.
  • Додавання спаду на якорі до напруги живлення замість віднімання.
  • Збереження незмінного струму після послаблення поля: той самий момент потребує більшого струму.
Двигуни постійного струму: що ви тренуєте?
  • Легка: зворотна ЕРС, струм і момент
  • Середня: механічна характеристика та ККД
  • Складна: пуск і регулювання швидкості

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Послідовні й паралельні резистори

Курси з цією темою

Електроенергетичні системи та електричні машиниСилова електроніка та приводиМехатронні системи

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Двигуни постійного струму» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Двигуни постійного струмуТренуйтеся зараз: Двигуни постійного струмуБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.