Тевенен і Нортон: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: метод еквівалентного генератора · теорема Тевенена · теорема Нортона

Безкоштовні задачі з теми Тевенен і Нортон з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: дільник, з послідовним резистором і навантаженням, з джерелом струму і навантаженням.

Безкоштовна задачаЛегка
R1​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 12 Ω
A
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Тевенен і НортонТренуйтеся зараз: Тевенен і НортонБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкадільник
  2. Середняз послідовним резистором і навантаженням
  3. Складназ джерелом струму і навантаженням

Як розв’язувати задачі на тему «Тевенен і Нортон»

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Типові помилки

  • Навантаження залишають підключеним під час пошуку Rth.
  • Резистори додають як послідовні, хоча з боку затискачів вони паралельні.
  • Забувають, що максимальна потужність передається, коли Rload = Rth.

Основні формули

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Вивчайте тему «Тевенен і Нортон» з нуля

Перед цим: Послідовні й паралельні резистори

1Що таке еквівалент Тевенена

Часто цікаво лише те, що відбувається на двох виводах кола, наприклад там, де під’єднано навантаження.

Теорема Тевенена каже: якщо дивитися з двох виводів a і b, будь-яке коло з джерел і резисторів поводиться точно як одне джерело напруги, з’єднане послідовно з одним резистором.

+−Vth​Rth​ab

Добрий образ — батарея: усередині хімічний елемент (джерело) з певним внутрішнім опором. Зовні ви помічаєте лише ці дві речі.

Це заощаджує багато роботи. Коли ви маєте Vth і Rth, можна перевірити багато різних навантажень, витративши на кожне один рядок обчислень.

Самоперевірка Чим еквівалент Тевенена замінює коло?
  1. Двома паралельними джерелами напруги
  2. Лише одним резистором
  3. Одним джерелом напруги послідовно з одним резистором
  4. Одним джерелом струму послідовно з одним резистором

Відповідь: Одним джерелом напруги послідовно з одним резистором. Vth послідовно з Rth. Форма Нортона використовує джерело струму, але паралельно з Rth, а не послідовно.

2Пошук Vth і Rth

Ці два числа знаходять двома окремими малими обчисленнями.

  • Vth — це напруга холостого ходу: напруга між a і b, коли до них нічого не під’єднано.
  • Rth — це опір, який видно з боку a і b, коли всі незалежні джерела вимкнено.

Вимикання працює, як у методі накладання: джерело напруги стає дротом, джерело струму — розривом.

Еквівалент Нортона — те саме коло в іншій формі: джерело струму, паралельне тому самому Rth.

IN​Rth​ab
IN = Vth / Rth
Самоперевірка Коло має Vth = 12 V і Rth = 4 Ω. Чому дорівнює його струм Нортона?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Відповідь: 3 A. IN = Vth/Rth = 12/4 = 3 A. Це також струм, який протікав би, якби з’єднати a з b накоротко.

3Метод крок за кроком

  1. Приберіть навантаження (якщо воно є) і позначте виводи a та b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b. Це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела. Знайдіть опір між a і b за правилами послідовного й паралельного з’єднання. Це Rth.
  4. Намалюйте еквівалент: Vth послідовно з Rth, потім поверніть навантаження.
  5. Струм навантаження дорівнює IL = Vth / (Rth + RL).

Корисний факт для кроку 2: коли a і b розімкнено, у резисторі, що веде лише до a, струм не тече. Отже, напруги на ньому немає.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Навантаження RL = 4 Ω під’єднано до a–b. Знайдіть еквівалент Тевенена та струм навантаження IL.

1

Погляньте на коло

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabRL​4 Ω

Усе ліворуч від a–b замінюємо на Vth і Rth.

2

Приберіть навантаження й знайдіть Vth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω+−Vs​24 VabVth​ ?+−

Коли a–b розімкнено, через R3 струм не тече, тож a має ту саму напругу, що й вузол між R1 і R2.

Цей вузол — дільник напруги:

Vth = 24 · 3 / (6 + 3) = 8 V
3

Вимкніть джерело й знайдіть Rth

R1​ = 6 ΩR2​3 ΩR3​ = 2 Ω0 VabRth​ ?

Джерело стає дротом. Якщо дивитися з a: R3 послідовно з (R1 ∥ R2).

R1 ∥ R2 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
Rth = 2 + 2 = 4 Ω
4

Поверніть навантаження

+−8 V4 Ωab
IL = Vth / (Rth + RL) = 8 / (4 + 4) = 1 A
5

Форма Нортона

IN = 8 / 4 = 2 A

Те саме коло в іншій формі: джерело 2 A паралельно з 4 Ω дає той самий 1 A у навантаженні.

Відповідь

Vth = 8 V, Rth = 4 Ω і IL = 1 A.

5Максимальна потужність у навантаженні

Класичне додаткове запитання: яке навантаження отримує найбільшу потужність?

Відповідь: навантаження, що дорівнює опору Тевенена:

RL = Rth ⇒ Pmax = Vth² / (4·Rth)

У прикладі навантаження 4 Ω отримує 8² / (4·4) = 4 W. Це той самий 1 A, який ми знайшли: P = 1² · 4 = 4 W.

Самоперевірка Коло має Vth = 10 V і Rth = 5 Ω. Який опір навантаження отримує найбільшу потужність?
  1. 0 Ω
  2. 10 Ω
  3. 2,5 Ω
  4. 5 Ω

Відповідь: 5 Ω. Максимальна передача потужності відбувається, коли RL = Rth = 5 Ω. Тоді воно отримує 10²/(4·5) = 5 W.

6Типові помилки

  • Залишати навантаження під’єднаним, шукаючи Vth або Rth. Спершу приберіть його.
  • Забути вимкнути джерела для Rth або вимкнути джерело напруги як розрив замість дроту.
  • Складати послідовно резистори, які з боку a і b насправді паралельні. Перекресліть коло з точки зору виводів.
  • Враховувати спад напруги на резисторі, у якому в розімкненому колі немає струму.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкі: джерело з дільником напруги. Ви шукаєте Vth або Rth.
  • Середні: те саме, з додатковим послідовним резистором до виводу, як у прикладі.
  • Складні: ще й джерело струму та навантаження, струм якого треба знайти. Вимкнене джерело струму стає розривом.

Чітко запишіть Vth і Rth, перш ніж ними користуватися. Багато запитань просять одну з цих величин як проміжний результат.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 20 VR1 = 10 ΩR2 = 8 Ω

Знайти: Vth (V)

Показати підказки
  1. Потрібні два числа: Rth (вимкніть усі джерела й подивіться на коло з боку a–b) і Vth (напруга на a–b, коли нічого не підключено). Струм Нортона та величини навантаження випливають із цих двох.
  2. Коли V₁ закорочене, R₁ і R₂ з боку a–b з’єднані паралельно.
  3. Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 10 ΩКЗR2​8 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
R1​ = 10 Ω+−V1​20 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, струм через затискачі не тече, тож R₁ і R₂ утворюють простий дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 20·8/(10+8) = 8,889 V
Приклад 2Середня
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAab

Знайдіть опір Тевенена Rth з боку затискачів a–b.

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω

Знайти: Rth (Ω)

Показати підказки
  1. Потрібні два числа: Rth (вимкніть усі джерела й подивіться на коло з боку a–b) і Vth (напруга на a–b, коли нічого не підключено). Струм Нортона та величини навантаження випливають із цих двох.
  2. Коли V₁ закорочене, R₁ ∥ R₂ з боку a–b послідовне з R₃. Коли a–b розімкнені, струм через R₃ не тече.
  3. R1 ∥ R2 = 1,714 Ω.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​12 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 3 = 4,714 Ω
Приклад 3Складна
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 2 Ω. За допомогою еквівалента Тевенена знайдіть потужність PL, що передається навантаженню.

V1 = 9 VIs = 0,5 AR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 2 Ω

Знайти: PL (W)

Показати підказки
  1. Потрібні два числа: Rth (вимкніть усі джерела й подивіться на коло з боку a–b) і Vth (напруга на a–b, коли нічого не підключено). Струм Нортона та величини навантаження випливають із цих двох.
  2. Коли V₁ закорочене, а Iₛ розімкнене, Rth = (R₁ ∥ R₂) + R₃. Для Vth увесь Iₛ має текти через R₃ у A.
  3. Rth = 11,33 Ω, Vth = 7,167 V.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​4 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 8 = 11,33 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 0,5·3,333 = 3,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 3,167 + 0,5·8 = 7,167 V
Rth​ = 11,33 Ω+−Vth​7,167 VRL​2 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,167/(11,33 + 2) = 0,5375 A
PL = IL²·RL = 0,5375²·2 = 0,5778 W

Запитання й відповіді

Тевенен і Нортон: що це?

Часто цікаво лише те, що відбувається на двох виводах кола, наприклад там, де під’єднано навантаження.

Теорема Тевенена каже: якщо дивитися з двох виводів a і b, будь-яке коло з джерел і резисторів поводиться точно як одне джерело напруги, з’єднане послідовно з одним резистором.

Тевенен і Нортон: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.
Тевенен і Нортон: які помилки найпоширеніші?
  • Навантаження залишають підключеним під час пошуку Rth.
  • Резистори додають як послідовні, хоча з боку затискачів вони паралельні.
  • Забувають, що максимальна потужність передається, коли Rload = Rth.
Тевенен і Нортон: що ви тренуєте?
  • Легка: дільник
  • Середня: з послідовним резистором і навантаженням
  • Складна: з джерелом струму і навантаженням

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Послідовні й паралельні резистори

Далі

Міст Вітстона й тензорезистори

Калькулятори

Калькулятор еквівалентів Тевеніна та Нортона

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 1Теорія електричних кіл 2: кола змінного струмуОснови електротехнікиВимірювання та вимірювальна технікаПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Тевенен і Нортон» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Тевенен і НортонТренуйтеся зараз: Тевенен і НортонБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.