Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: активна потужність · реактивна потужність · повна потужність · компенсація реактивної потужності

Безкоштовні задачі з теми Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: P і Q навантаження, струм лінії, компенсація реактивної потужності.

Безкоштовна задачаЛегка
PQ = ?S = V·Iφ

Однофазне навантаження споживає 11 A (діюче значення) від мережі 240 V (діюче значення) при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 240 VI = 11 Apf = cos φ = 0,7
var
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіТренуйтеся зараз: Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. ЛегкаP і Q навантаження
  2. Середняструм лінії
  3. Складнакомпенсація реактивної потужності

Основні формули

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Вивчайте тему «Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності» з нуля

Перед цим: Повний опір і комплексні амплітуди

1Що таке потужність змінного струму

У колі постійного струму потужність — це просто P = V·I. У колі змінного струму з котушкою чи конденсатором струм зсунутий у часі відносно напруги на кут φ.

Через цей зсув частина енергії лише рухається туди й назад між джерелом і навантаженням. Вона не виконує корисної роботи, але проводи все одно мають пропускати для неї струм.

Уявіть склянку пива. Пиво — це корисна частина, піна займає місце, але її не вип’єш, а склянка мусить вмістити обидві.

  • Активна потужність P, у ватах (W): корисна частина, що перетворюється на тепло, світло чи рух (пиво).
  • Реактивна потужність Q, у вольт-амперах реактивних (var): частина, що рухається туди й назад (піна).
  • Повна потужність S, у вольт-амперах (VA): те, що мають пропускати джерело й проводи (склянка).
Самоперевірка Який вид потужності перетворюється на тепло, світло чи механічну роботу?
  1. Активна потужність P, у W
  2. Повна потужність S, у VA
  3. Реактивна потужність Q, у var
  4. Усі три однаково

Відповідь: Активна потужність P, у W. Корисну роботу виконує лише активна потужність P. Q лише рухається туди й назад, а S — це загальна потужність, яку має віддати джерело.

2Трикутник потужностей і коефіцієнт потужності

Три потужності утворюють прямокутний трикутник. Кут φ збігається з кутом повного опору навантаження.

PQSφ
S = V·I P = S·cos φ Q = S·sin φ
S = √(P² + Q²) Q = P·tan φ

Коефіцієнт потужності — це cos φ = P/S. Він показує, яка частка повної потужності виконує корисну роботу. Коефіцієнт потужності 1 — ідеальний.

Двигуни та інші котушки мають відстаючий коефіцієнт потужності: струм відстає від напруги. Конденсатори дають випереджальний коефіцієнт потужності.

Самоперевірка Навантаження споживає 10 A від джерела 230 V з коефіцієнтом потужності 0,8. Яку активну потужність воно споживає?
  1. 1380 W
  2. 1840 W
  3. 2300 W
  4. 2875 W

Відповідь: 1840 W. P = V·I·cos φ = 230·10·0,8 = 1840 W. 2300 W — це повна потужність S, 1380 W використовує sin φ = 0,6 замість cos φ, а 2875 W ділить на коефіцієнт потужності.

3Метод крок за кроком

  1. Запишіть, що вам відомо: V, I, P, коефіцієнт потужності cos φ і те, відстаючий він чи випереджальний.
  2. Знайдіть кут: φ = arccos(коефіцієнт потужності). Тоді ви знаєте також sin φ і tan φ.
  3. Якщо задано V та I, почніть із S = V·I. Потім P = S·cos φ і Q = S·sin φ.
  4. Якщо задано P, використайте Q = P·tan φ і S = P / cos φ.
  5. Для лінійного струму використайте I = P / (V·cos φ), де P у ватах.

Намалюйте трикутник з відомими числами. Одного погляду досить, щоб побачити, чи відповідь має правильний розмір: S завжди найдовша сторона.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Однофазний двигун споживає 4,6 kW з відстаючим коефіцієнтом потужності 0,8 від джерела 230 V. Знайдіть лінійний струм I і реактивну потужність Q.

1

Знайдіть кут

φ = arccos(0,8) = 36,9°

Отже, sin φ = 0,6 і tan φ = 0,75.

2

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тому діліть на коефіцієнт потужності. Використовуйте вати, а не кіловати.

I = P / (V·cos φ) = 4600 / (230·0,8) = 25 A
3

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 4,6·0,75 = 3,45 kvar
4

Перевірте відповідь

4,6 kW3,45 kvar5,75 kVAφ

S = V·I = 230·25 = 5750 VA = 5,75 kVA. Тоді Q = S·sin φ = 5,75·0,6 = 3,45 kvar, той самий результат.

Також √(4,6² + 3,45²) = 5,75, тож трикутник замикається.

Відповідь

I = 25 A і Q = 3,45 kvar.

5Компенсація коефіцієнта потужності

Низький коефіцієнт потужності означає великий струм за тієї самої корисної потужності. Це коштує грошей: товстіші кабелі та втрати, тому його часто компенсують.

Конденсатор, увімкнений паралельно навантаженню, віддає реактивну потужність на місці. Активна потужність P не змінюється; зменшується лише реактивна потужність, що береться від джерела.

QC = P·(tan φ1 − tan φ2)
12 kW16 kvarS1​φ1​7 kvar

Приклад: навантаження 12 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 має tan φ1 = 1,33, тож Q1 = 16 kvar. Щоб дійти до 0,8 (tan φ2 = 0,75), може вистачити лише Q2 = 9 kvar. Конденсатор віддає 16 − 9 = 7 kvar.

За напруги 400 V струм зменшується з 12000/(400·0,6) = 50 A до 12000/(400·0,8) = 37,5 A.

Ємність випливає з QC = V²·ωC:

C = QC / (2π·f·V²)
Самоперевірка Навантаження 20 kW має tan φ1 = 1 і має досягти tan φ2 = 0,5. Яку реактивну потужність має віддавати конденсатор?
  1. 10 kvar
  2. 20 kvar
  3. 30 kvar
  4. 40 kvar

Відповідь: 10 kvar. QC = P·(tan φ1 − tan φ2) = 20·(1 − 0,5) = 10 kvar. 20 kvar — це вся стара реактивна потужність, яка дала б коефіцієнт потужності 1.

6Типові помилки

  • Плутати cos φ і sin φ. P пов’язана з cos φ, Q — із sin φ.
  • Використовувати kW разом із V і отримати струм у 1000 разів менший. Спершу перетворіть на вати.
  • Множити на коефіцієнт потужності, шукаючи струм. Струм більший за P/V, тож ви ділите.
  • Думати, що конденсатор змінює активну потужність. Він змінює лише Q, а отже, S та I.
Самоперевірка Навантаження споживає 2 kW з коефіцієнтом потужності 0,8 від джерела 250 V. Який лінійний струм?
  1. 0,01 A
  2. 10 A
  3. 6,4 A
  4. 8 A

Відповідь: 10 A. I = P/(V·cos φ) = 2000/(250·0,8) = 10 A. Якщо залишити P у kW, вийде 0,01 A, множення на коефіцієнт потужності дає 6,4 A, а 8 A ігнорує коефіцієнт потужності.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: навантаження із заданими V, I і коефіцієнтом потужності. Ви знаходите активну потужність P або реактивну потужність Q.
  • Середньо: двигун із заданими P (у kW), коефіцієнтом потужності та V. Ви знаходите лінійний струм I або реактивну потужність Q.
  • Складно: компенсація коефіцієнта потужності. Ви знаходите реактивну потужність конденсатора QC, його ємність C або новий лінійний струм.

Щоб знайти новий лінійний струм після компенсації, використайте новий коефіцієнт потужності: Inew = P / (V·cos φ2).

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
P = ?QS = V·Iφ

Однофазне навантаження споживає 9 A (діюче значення) від мережі 400 V (діюче значення) при коефіцієнті потужності 0,9 (індуктивному). Знайдіть активну потужність P, яку воно споживає.

V = 400 VI = 9 Apf = cos φ = 0,9

Знайти: P (W)

Показати підказки
  1. Активна, реактивна й повна потужності утворюють прямокутний трикутник: P = S·cos φ, Q = S·sin φ і S = V·I, де cos φ — коефіцієнт потужності.
  2. P = V·I·cos φ.
  3. S = 3600 VA, φ = 25,84°.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Повна потужність і кут

S = V·I = 400·9 = 3600 VA
φ = arccos(0,9) = 25,84°

Активна потужність

P = S·cos φ = 3600·0,9 = 3240 W

Відповідь

P = 3240 W
Приклад 2Середня
P = 35 kWQ = ?Sφ

Однофазний двигун споживає 35 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 35 kWpf = 0,7V = 230 V

Знайти: Q (kvar)

Показати підказки
  1. Активна, реактивна й повна потужності утворюють прямокутний трикутник: P = S·cos φ, Q = S·sin φ і S = V·I, де cos φ — коефіцієнт потужності.
  2. Q = P·tan φ.
  3. φ = 45,57°.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 35·1,02 = 35,71 kvar

Відповідь

Q = 35,71 kvar
Приклад 3Складна
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 45 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,95. Знайдіть новий струм лінії Inew.

P = 45 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz

Знайти: Inew (A)

Показати підказки
  1. Активна, реактивна й повна потужності утворюють прямокутний трикутник: P = S·cos φ, Q = S·sin φ і S = V·I, де cos φ — коефіцієнт потужності.
  2. Конденсатор постачає QC = P·(tan φ₁ − tan φ₂) і не змінює P.
  3. QC = 37,82 kvar.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(49,46°) = 52,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 37,82 kvar

Новий струм лінії

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(240·0,95) = 197,4 A

Відповідь

Inew = 197,4 A

Запитання й відповіді

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності: що це?

У колі постійного струму потужність — це просто P = V·I. У колі змінного струму з котушкою чи конденсатором струм зсунутий у часі відносно напруги на кут φ.

Через цей зсув частина енергії лише рухається туди й назад між джерелом і навантаженням. Вона не виконує корисної роботи, але проводи все одно мають пропускати для неї струм.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності: що ви тренуєте?
  • Легка: P і Q навантаження
  • Середня: струм лінії
  • Складна: компенсація реактивної потужності

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Повний опір і комплексні амплітуди

Далі

Трифазні системи

Калькулятори

Калькулятор компенсації реактивної потужності

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струмуОснови електротехнікиЕлектроенергетичні системи та електричні машиниСилова електроніка та приводиПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіТренуйтеся зараз: Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.