Діаграми Боде та запаси: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: ЛАЧХ · логарифмічні частотні характеристики · запас стійкості

Безкоштовні задачі з теми Діаграми Боде та запаси з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: фільтри й асимптоти, модуль і фаза, запаси стійкості.

Безкоштовна задачаЛегка
vin​C = 4,7 nFR = 10 kΩvout​

Знайдіть частоту зрізу (−3 dB) fc для показаного RC-фільтр верхніх частот, з R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Дайте її в Hz.

R = 10 kΩC = 4,7 nF
Hz
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Діаграми Боде та запасиТренуйтеся зараз: Діаграми Боде та запасиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкафільтри й асимптоти
  2. Середнямодуль і фаза
  3. Складназапаси стійкості

Вивчайте тему «Діаграми Боде та запаси» з нуля

Перед цим: Повний опір і комплексні амплітуди, Перетворення Лапласа

1Що показує діаграма Боде

Подайте синусоїду на фільтр або підсилювач, і на виході буде синусоїда тієї самої частоти. Змінюються лише дві речі: розмір і зсув у часі.

tvvin​vout​

Коефіцієнт підсилення |H| — це відношення амплітуди виходу до амплітуди входу. Фаза φ — це зсув виходу в градусах. Від’ємна фаза означає, що вихід відстає.

Обидва залежать від частоти. Діаграма Боде будує їх залежно від частоти: підсилення в децибелах угорі, фаза внизу. Вісь частоти логарифмічна, тож кожна декада (×10) має однакову ширину.

Децибели перетворюють відношення на число, яке можна додавати:

|H|dB = 20·log₁₀|H|
  • Підсилення 1 — це 0 dB, 10 — це 20 dB, 100 — це 40 dB, а 0,1 — це −20 dB.
  • Підсилення 1/√2 ≈ 0,707 — це −3 dB. Це межа смуги пропускання фільтра.
Самоперевірка Підсилювач має коефіцієнт підсилення 100. Яке це підсилення в децибелах?
  1. 100 dB
  2. 2 dB
  3. 20 dB
  4. 40 dB

Відповідь: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB використовує 10·log₁₀, що призначено для відношень потужностей, а не напруг. 2 — це лише log₁₀(100).

2Фільтри першого порядку

Резистор із конденсатором або котушкою індуктивності утворює найпростіший фільтр. Фільтр нижніх частот пропускає низькі частоти й послаблює високі. Фільтр верхніх частот робить навпаки.

vin​RCvout​vin​CRvout​

У RC-фільтрі нижніх частот (ліворуч) вихід знімають з конденсатора. У RC-фільтрі верхніх частот (праворуч) — з резистора. З котушкою вихід фільтра нижніх частот знімають з R, а фільтра верхніх частот — з L.

Зміна відбувається навколо частоти зрізу, де підсилення становить −3 dB. Вона однакова для варіантів нижніх і верхніх частот:

ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)

ωc у rad/s, а fc у Hz. Спершу переведіть R, C і L в основні одиниці: Ω, F і H.

0−20−40dB−20 dB/dec−3 dB0°−45°−90°−45°0,010,1110100ω/ωc​

Графік показує фільтр нижніх частот. Нижче ωc підсилення приблизно 0 dB. Вище нього підсилення падає на 20 dB на декаду. Фаза змінюється від 0° до −90° і дорівнює −45° на частоті зрізу.

На будь-якій частоті, з відношенням x = f/fc = ω/ωc:

  • Нижні частоти: |H| = 1/√(1 + x²) і φ = −atan x.
  • Верхні частоти: |H| = x/√(1 + x²) і φ = 90° − atan x.
Розв’язаний приклад

Знайдіть частоту зрізу fc RL-фільтра верхніх частот з R = 470 Ω і L = 47 mH.

1

Основні одиниці

L = 47 mH = 0,047 H
2

Зріз у rad/s

ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3

Зріз у Hz

fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Відповідь

fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).

Самоперевірка RC-фільтр нижніх частот має R = 1 kΩ і C = 1 µF. Яка його частота зрізу fc?
  1. 1000 Hz
  2. 159 Hz
  3. 159 kHz
  4. 6283 Hz

Відповідь: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, тож fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 — це ωc у rad/s, а не в Hz. 6283 множить на 2π, а 159 kHz забуває k у kΩ.

3Прямолінійні діаграми Боде

Для передавальної функції G(s) амплітуду можна накреслити прямими лініями. Кожен множник змінює нахил на власній частоті зрізу.

  • Множник-полюс (s + p) у знаменнику згинає лінію вниз на 20 dB/decade починаючи з ω = p.
  • Множник-нуль (s + z) у чисельнику згинає її вгору на 20 dB/decade починаючи з ω = z.
  • Множник s у знаменнику (інтегратор) дає −20 dB/decade на кожній частоті й −90° фази.
  • Без інтегратора графік починається плоско на DC-коефіцієнті G(0), переведеному в dB.
200−20−40−60dB0−20−401101001000ω

На рисунку G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, тож графік починається з 20 dB. Він згинається до −20 dB/decade за 10 rad/s і до −40 dB/decade за 100 rad/s.

Щоб знайти нахил у смузі: почніть з −20 dB/decade на інтегратор, потім додайте −20 за кожну частоту зрізу полюса і +20 за кожну частоту зрізу нуля нижче цієї смуги.

Самоперевірка G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Який нахил прямолінійного графіка між 5 і 50 rad/s?
  1. 0 dB/decade
  2. −20 dB/decade
  3. −40 dB/decade
  4. −60 dB/decade

Відповідь: −40 dB/decade. Інтегратор дає −20 від самого початку. Полюс на 5 додає −20, тож нахил −40 між 5 і 50. Нуль на 50 повертає його до −20 вище за 50. −60 розглядає нуль як полюс.

4Точні значення на одній частоті

Прямі лінії — це ескіз. Для точного значення підставте s = jω. Кожен множник (jω + a) — комплексне число з:

|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)

Модуль G дорівнює добутку модулів чисельника, поділеному на добуток модулів знаменника. Фаза — це сума кутів чисельника мінус сума кутів знаменника.

Приклад: G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) за ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 і |j4 + 4| = 5,657, тож |G| = 150/28,28 = 5,30, тобто 14,5 dB.

Фаза дорівнює −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.

Послідовне RLC-коло з виходом на R — це смуговий фільтр. Він пропускає частоти поблизу резонансної частоти ω₀ = 1/√(LC). Смуга пропускання BW = R/L у rad/s, а добротність Q = ω₀/BW.

  1. Запишіть G(s) або H(jω). Для RC- чи RL-фільтра спершу знайдіть ωc і відношення x = ω/ωc.
  2. Для кожного множника знайдіть його модуль √(ω² + a²) і кут atan(ω/a).
  3. Множте й діліть модулі. Додайте кути нулів і віднімайте кути полюсів; інтегратор додає −90°.
  4. Переведіть модуль у dB за 20·log₁₀.
  5. Перевірте за прямолінійним ескізом: точне значення має лежати поруч із ним, а на єдиній частоті зрізу — на 3 dB нижче.

5Розв’язаний приклад

Це типове запитання середнього рівня. Спробуйте кожен крок, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

RC-фільтр нижніх частот має R = 10 kΩ і C = 100 nF. Подають синусоїду 480 Hz. Знайдіть підсилення |H| у dB і зсув фази φ.

1

Частота зрізу

Використайте основні одиниці: R = 10 000 Ω і C = 0,0000001 F.

ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2

Відношення частот

x = f/fc = 480/159,2 = 3,016

Вхід вище за частоту зрізу, тож очікуйте помітну втрату підсилення.

3

Коефіцієнт підсилення

|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4

Фаза

Фільтр нижніх частот змушує вихід відставати, тож фаза від’ємна.

φ = −atan(3,016) = −71,7°
5

Перевірте відповідь

0−20−40dB−20 dB/dec−10,0 dB0,010,1110100ω/ωc​

Пряма лінія дає −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, близько до точного −10,0 dB.

Відповідь

|H| ≈ −10,0 dB і φ ≈ −71,7°.

6Типові помилки

  • Використовувати 10·log₁₀ для підсилення за напругою. Підсилення сигналів використовують 20·log₁₀.
  • Плутати ω і f. ωc = 1/(RC) у rad/s; поділіть на 2π, щоб отримати Hz.
  • Використовувати L/R для частоти зрізу RL. L/R — це стала часу; частота зрізу ωc = R/L.
  • Додавати модулі як ω + a. Модуль jω + a дорівнює √(ω² + a²).
  • Забувати інтегратор: 1/s дає −20 dB/decade і −90° на кожній частоті.
  • Давати прямолінійне значення, коли запитано точний модуль.
Самоперевірка Чому дорівнює DC-коефіцієнт G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) у dB?
  1. 16,0 dB
  2. 32,0 dB
  3. 40 dB
  4. 52,0 dB

Відповідь: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, а 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB використовує 10·log₁₀. 40 — це відношення, а не dB. 52,0 dB забуває покласти s = 0 у знаменнику.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: фільтри й асимптоти. Частота зрізу RC- чи RL-фільтра в Hz або rad/s, нахил прямолінійного графіка в смузі або DC-коефіцієнт у dB.
  • Середньо: модуль і фаза. Підсилення в dB або фаза фільтра на заданій частоті, точний |G(jω)| чи ∠G(jω) передавальної функції або f₀, BW чи Q смугового RLC-фільтра.
  • Складно: запаси стійкості контуру L(s), як-от 85/(s(s + 5)) або K/(s(s + a)(s + b)).

Для складного рівня потрібні дві частоти. На частоті зрізу підсилення ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). На частоті зрізу фази ω180, ∠L(jω) = −180°.

PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|

Для L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) частота зрізу фази дорівнює ω180 = √(a·b). Контур стійкий, коли обидва запаси додатні.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
|H| (dB)0,11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)

Знайдіть коефіцієнт підсилення G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) на низьких частотах (DC) у децибелах, |G(0)| у dB.

G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))

Знайти: |G(0)| (dB)

Показати підказки
  1. На дуже низькій частоті s → 0.
  2. G(0) = 0,3.
  3. 20·log₁₀(0,3).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Статичний коефіцієнт підсилення

G(0) = 0,3

У децибелах

20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB

Відповідь

|G(0)| = −10,46 dB
Приклад 2Середня
vin​R = 1 kΩC = 1 nFvout​

RC-фільтр нижніх частот на рисунку має R = 1 kΩ, C = 1 nF. На вхід подають синусоїдний сигнал 1600 kHz. Знайдіть фазовий зсув φ сигналу vout відносно vin, у градусах.

R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz

Знайти: φ (°)

Показати підказки
  1. Спершу знайдіть частоту зрізу: fc = 159155 Hz.
  2. H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
  3. f/fc = 10,05.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Частота зрізу

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05

Фаза

φ = − atan(10,05) = −84,32°

Відповідь

φ = −84,32°
Приклад 3Складна
|H| (dB)0,10,111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

Контур із одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненого кола L(s) = 185/(s(s + 5)). Знайдіть запас за фазою PM у градусах.

L(s) = 185/(s(s + 5))

Знайти: PM (°)

Показати підказки
  1. |L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 дає ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0.
  2. Розв’яжіть квадратне рівняння відносно x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
  3. ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Зріз за підсиленням

ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s

Запас за фазою

∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°

Відповідь

PM = 20,82°

Запитання й відповіді

Діаграми Боде та запаси: що це?

Подайте синусоїду на фільтр або підсилювач, і на виході буде синусоїда тієї самої частоти. Змінюються лише дві речі: розмір і зсув у часі.

Обидва залежать від частоти. Діаграма Боде будує їх залежно від частоти: підсилення в децибелах угорі, фаза внизу. Вісь частоти логарифмічна, тож кожна декада (×10) має однакову ширину.

Діаграми Боде та запаси: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Частотна характеристика: підставте s = jω у передавальну функцію. Модуль у децибелах дорівнює 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумі кутів множників чисельника мінус кути множників знаменника. Фільтр першого порядку RC або RL має частоту зрізу (−3 dB) ωc = 1/(RC) або R/L, а fc = ωc/(2π); фільтр нижніх частот дає |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) і φ = −atan(ω/ωc). На асимптотичній (ламаній) діаграмі Боде кожен полюс згинає модуль вниз на 20 dB/decade на своїй частоті зламу, кожен нуль згинає його вгору на 20 dB/decade, а інтегратор 1/s дає −20 dB/decade на всіх частотах. Частота зрізу за коефіцієнтом підсилення ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас за фазою PM = 180° + ∠L(jωc). Частота перетину за фазою ω180: ∠L(jω) = −180°; запас за підсиленням GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Замкнена система стійка, коли обидва запаси додатні.

Діаграми Боде та запаси: які помилки найпоширеніші?
  • Це коефіцієнт підсилення як відношення. Перетворіть: 20·log₁₀(0,3).
  • Для відношення напруг чи сигналів використовуйте 20·log₁₀, а не 10·log₁₀ (це для потужності).
  • Покладіть s = 0 у кожному множнику: G(0) = 0,3, а не 12.
Діаграми Боде та запаси: що ви тренуєте?
  • Легка: фільтри й асимптоти
  • Середня: модуль і фаза
  • Складна: запаси стійкості

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Повний опір і комплексні амплітудиПеретворення Лапласа

Калькулятори

Калькулятор децибелів (dB, dBm і рівні звуку)Калькулятор діаграми Боде (запас за амплітудою та фазою)

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струмуТеорія автоматичного керування 1Сигнали та системиТеорія керування 2: проєктування зворотного зв’язкуПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Діаграми Боде та запаси» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Діаграми Боде та запасиТренуйтеся зараз: Діаграми Боде та запасиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.