Перетворення Лапласа: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: операторний метод · передавальна функція
Безкоштовні задачі з теми Перетворення Лапласа з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: таблиця пар і теореми про значення, обернене перетворення розкладом на простіші дроби, Диференціальні рівняння та передатні функції.
Безкоштовна задачаЛегка
Сигнал f(t) має перетворення Лапласа F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). За теоремою про кінцеве значення знайдіть значення f(∞), до якого прямує f(t).
Кола, двигуни та резервуари описують диференціальні рівняння: вихід залежить від власної швидкості зміни. Розв’язувати їх напряму довго.
Перетворення Лапласа перетворює таку задачу на алгебру. Ви замінюєте кожну функцію часу f(t) функцією F(s) нової змінної s.
Ви розв’язуєте задачу звичайною алгеброю відносно s, а потім перекладаєте результат назад у час. Цей останній крок — обернене перетворення.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Сам інтеграл ви використовуєте рідко. На практиці ви шукаєте пари перетворень у таблиці, як слова в словнику між двома мовами.
На рисунку три поширені сигнали: стала 1 (сходинка), спадна експонента та синусоїда. Під кожним — його перетворення.
Самоперевірка Яке перетворення Лапласа сталого сигналу f(t) = 5?
1/(5s)
5/s
5
5s
Відповідь: 5/s. Сталий множник лишається спереду, і ℒ{1} = 1/s. Отже, ℒ{5} = 5/s. Відповідь 5 забуває, що перетворення сталої завжди несе множник 1/s.
2Таблиця пар перетворень
Запам’ятайте ці п’ять пар. Разом із двома правилами вони охоплюють майже кожну екзаменаційну задачу.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Лінійність: сталі лишаються спереду, а сума перетворюється почленно. Отже, 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Зсув: заміна s на s + a множить функцію часу на e−at. Отже, (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Стежте за парою синуса: чисельник має бути самим ω. Для 12/(s² + 9) маємо ω = 3, тож запишіть 12 = 4·3. Результат — 4·sin 3t.
У sin ωt і cos ωt кут ωt в радіанах. Перед обчисленням переведіть калькулятор у радіани.
Розв’язаний приклад
Знайдіть f(t) для F(s) = 6/(s + 3) + 2/s і обчисліть f(0,5).
1
Зіставте кожен доданок із парою
6/(s + 3) має вигляд 1/(s + a) з a = 3, помножене на 6. Доданок 2/s — це стала 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Запишіть f(t)
Додайте обидві частини (лінійність):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Обчисліть за t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Відповідь
f(t) = 6·e−3t + 2, тож f(0,5) ≈ 3,34.
Самоперевірка Яке обернене перетворення 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Відповідь: 2·sin 4t. ω² = 16, тож ω = 4. Пара потребує 4 у чисельнику: 8 = 2·4, що дає 2·sin 4t. 8·sin 4t забуває поділити на ω. Косинус відповідає s у чисельнику.
3Початкове й кінцеве значення без оберненого перетворення
Іноді потрібно знати лише, звідки f(t) починається або де закінчується. Дві теореми дають це прямо з F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Початкове значення (s → ∞): для дуже великого s враховується лише найвищий степінь s у чисельнику та в знаменнику.
Кінцеве значення (s → 0): скоротіть множник s, потім покладіть s = 0 у кожному з решти множників, включно з нулями.
Теорема про кінцеве значення працює, лише якщо f(t) справді встановлюється: усі полюси s·F(s) мають мати від’ємну дійсну частину.
Кінцеве значення: для F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) отримуємо s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). За s = 0 це 12/6 = 2, тож f(∞) = 2.
Початкове значення: для F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) отримуємо s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Для великого s це поводиться як 3s²/s², тож f(0⁺) = 3.
Для початкового нахилу f′(0⁺) використайте перетворення похідної, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Потім застосуйте до неї теорему про початкове значення:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Для того самого F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Помножте на s і спрямуйте s → ∞. Найвищі степені дають −5s²/s², тож f′(0⁺) = −5.
Самоперевірка F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). До якого значення встановлюється f(t)?
0,5
0
1
20
Відповідь: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), що за s = 0 дорівнює 20/20 = 1. Відкидання множника-нуля (s + 2) дає 0,5. Значення 0 — це границя s → ∞, тобто початкове значення.
4Часткові дроби крок за кроком
Більшість F(s) у таблиці в такому вигляді відсутні. Ви розкладаєте їх на прості дроби, які там є. Це називають розкладом на часткові дроби.
Кожен корінь знаменника — це полюс. Простий полюс у s = −a дає один доданок A/(s + a), який у часі стає A·e−at.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Правило закривання знаходить кожен коефіцієнт. Щоб знайти A, закрийте множник (s + a) у F(s) і покладіть s = −a у всьому, що лишилося.
Приклад: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Тоді A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 і B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Отже, f(t) = 2e−t − e−4t.
Положення полюса підказує форму. Дійсний полюс у −3 дає чистий спад e−3t. Комплексна пара −1 ± j2 дає згасальне коливання, e−t помножене на sin 2t або cos 2t.
Кратний полюс (s + a)²: запишіть A/(s + a) + B/(s + a)². Другий доданок дає B·t·e−at. Отже, (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Комплексні полюси: доповніть до повного квадрата, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². Тоді 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e−2t·sin 2t.
Розкладіть знаменник на множники й випишіть полюси. Для квадратного тричлена знайдіть його корені або доповніть до повного квадрата.
Запишіть один дріб на кожен полюс: A/s, B/(s + a) і так далі. Кратний полюс також отримує доданок із квадратом.
Знайдіть кожен коефіцієнт за правилом закривання. Зберігайте знаки решти множників.
Переведіть кожен доданок назад у час за таблицею.
Підставте час t (радіани для синуса й косинуса). Перевірте f(0⁺) і f(∞) за теоремами про значення.
Самоперевірка F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3). Чому дорівнює A?
2
4
−1
−2
Відповідь: 2. Закрийте (s + 1) і підставте s = −1 в решту: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Значення −1 — це B. 4 виникає, якщо забути поділити на решту множника, а −2 — якщо змінити знак решти множника: 4/(−2) замість 4/2.
5Розв’язаний приклад
Це типове запитання середнього рівня. Спробуйте кожен крок самі, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Знайдіть f(t) для F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) розкладом на часткові дроби й обчисліть f(0,5).
1
Запишіть дроби
Знаменник уже розкладено на множники. Полюси: s = 0, s = −2 і s = −3, усі прості.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Закривання для A
Закрийте множник s і покладіть s = 0 у решті:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Закривання для B і C
Закрийте (s + 2) і покладіть s = −2. Потім закрийте (s + 3) і покладіть s = −3. Зберігайте кожен знак.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Назад у час
Кожен доданок — пара з таблиці: 2/s ↔ 2, а B/(s + a) ↔ B·e−at.
За t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. Теорема про початкове значення збігається, бо s·F(s) → 0 для великого s.
Для t → ∞ лишається лише 2. Теорема про кінцеве значення також дає 12/(2·3) = 2.
Відповідь
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, тож f(0,5) ≈ 0,685.
6Типові помилки
Плутати теореми: s → ∞ дає початкове значення f(0⁺), а s → 0 дає кінцеве f(∞).
Забувати множник s в s·F(s) або відкидати множник-нуль, як-от (s + 2), коли кладете s = 0.
Помилки знаків у правилі закривання: за s = −3 множник (s + 2) дорівнює −1, а не 5.
Використовувати пару синуса без ділення на ω: ω/(s² + ω²) потребує ω у чисельнику.
Обчислювати sin ωt чи cos ωt на калькуляторі в градусах. Кут ωt в радіанах.
Використовувати теорему про кінцеве значення, коли f(t) ніколи не встановлюється, наприклад F(s) = 1/(s² + 4), що є чистою синусоїдою.
Самоперевірка F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Яким за правилом закривання є коефіцієнт B при e−3t?
3
6
−2
−3
Відповідь: −3. Закрийте (s + 3) і покладіть s = −3 у решті: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Додатне 3 — помилка знака (це коефіцієнт A при e−t). −2 ділить на значення полюса замість решти множника.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: пари з таблиці та теореми про значення. Ви обертаєте сталу, експоненту, t·e−at, синус чи косинус і обчислюєте її або знаходите f(0⁺), f(∞) чи початковий нахил f′(0⁺).
Середньо: обернені перетворення розкладом на часткові дроби. Ви знаходите один коефіцієнт A, обертаєте три прості полюси s(s + a)(s + b), кратний полюс або комплексні полюси доповненням до повного квадрата.
Складно: диференціальні рівняння та передавальні функції, наприклад y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) із заданими початковими значеннями. Ви знаходите y у заданий момент.
Для складного рівня перетворюйте кожну похідну разом з її початковими умовами:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Потім розв’яжіть алгебраїчне рівняння відносно Y(s) і обертайте його розкладом на часткові дроби, як у розібраному прикладі.
Сигнал f(t) має перетворення Лапласа F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). За теоремою про кінцеве значення знайдіть значення f(∞), до якого прямує f(t).
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Знайти: f(∞)
Показати підказки
Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lim s·F(s) при s → 0.
Спершу перевірте, що всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині, тобто f(t) справді встановлюється.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Перевірте, чи теорема застосовна
Теорема справедлива лише тоді, коли f(t) встановлюється; полюс на уявній осі або в правій півплощині дав би хибну відповідь.
Полюси s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, усі в лівій півплощині.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Її оригінал має вигляд f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Знайдіть коефіцієнт A розкладом на простіші дроби.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
Знайти: A
Показати підказки
Розкладіть знаменник на множники: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
Правило закривання: A = [(s + 6)·F(s)] при s = −6.
При s = −6: чисельник 16, інший множник 2.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Розкладіть знаменник на множники
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Правило закривання
Помножте на (s + 6) і покладіть s = −6: доданок із B зникає.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Відповідь
A = 8
(B = −7, тож f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Приклад 3Складна
Система підпорядковується рівнянню y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t) при y(0) = 5 і y′(0) = 0. У момент t = 0 подають вхідну сходинку u(t) = 5. За допомогою перетворення Лапласа знайдіть y(0,6).
Помножте все на s: Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5)).
A = 15, B = −16,67, C = 6,667.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Перетворіть рівняння
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Простіші дроби
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Результат
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Відповідь
y(0,6) = 10,31
Перевірка: y(0) = A + B + C = 5.
Запитання й відповіді
Перетворення Лапласа: що це?
Кола, двигуни та резервуари описують диференціальні рівняння: вихід залежить від власної швидкості зміни. Розв’язувати їх напряму довго.
Ви розв’язуєте задачу звичайною алгеброю відносно s, а потім перекладаєте результат назад у час. Цей останній крок — обернене перетворення.
Перетворення Лапласа: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Перетворення Лапласа: які помилки найпоширеніші?
При s = 0 множник s² + 2s + 23 дорівнює своєму вільному члену 23.
Беріть границю s → 0, а не s = 1.
Це B — коефіцієнт при e−8t. A відповідає полюсу s = −6.
Перетворення Лапласа: що ви тренуєте?
Легка: таблиця пар і теореми про значення
Середня: обернене перетворення розкладом на простіші дроби
Складна: Диференціальні рівняння та передатні функції
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.