Перехідні процеси RC і RL: задачі з покроковими розв’язками
Інші назви: перехідні процеси · RC-коло · заряджання і розряджання конденсатора
Безкоштовні задачі з теми Перехідні процеси RC і RL з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: заряджання RC, коло RL, конденсатор із початковим зарядом.
Безкоштовна задачаЛегка
Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 10 ms.
Коли ви замикаєте ключ у колі лише з резисторами, кожен струм одразу стрибає до свого нового значення.
Конденсатор або котушка індуктивності це змінюють. Вони запасають енергію, а запасена енергія не може змінитися за нульовий час. Тож коло плавно переходить зі старого стану в новий.
Ця плавна зміна називається перехідним процесом. Через деякий час коло встановлюється, і більше нічого не змінюється.
Уявіть, що ви наповнюєте відро через вузький шланг. Відро — це конденсатор, вузький шланг — резистор. Рівень спершу зростає швидко, а потім дедалі повільніше, коли відро наповнюється.
Самоперевірка Незаряджений конденсатор підключають до джерела 12 V через резистор. Яка напруга на конденсаторі одразу після замикання ключа?
0 V
12 V
4,4 V
6 V
Відповідь: 0 V. Напруга на конденсаторі не може стрибнути. Безпосередньо перед замиканням ключа вона була 0 V, тож одразу після неї вона все ще 0 V. Вона досягає 12 V лише через довгий час.
2Конденсатори та котушки на початку й наприкінці
Для кожного елемента потрібні лише два правила: що не може стрибнути і як він поводиться, коли все встановилося.
Конденсатор: його напруга vC не може стрибнути. Довго після комутації струм у нього не тече, тож він діє як розімкнене коло (розрив).
Котушка індуктивності: її струм iL не може стрибнути. Довго після комутації напруга на ній відсутня, тож вона діє як коротке замикання (провід).
Значення одразу після комутації — це початкове значення x(0). Значення після встановлення — це кінцеве значення x(∞).
Для конденсатора, що заряджається від джерела Vs: vC(0) = 0 і vC(∞) = Vs. Для котушки: i(0) = 0 і i(∞) = Vs/R.
Самоперевірка Джерело 12 V живить резистор 20 Ω, увімкнений послідовно з котушкою. Який струм тече довго після замикання ключа?
0 A
0,6 A
1,67 A
240 A
Відповідь: 0,6 A. Після встановлення котушка — це простий провід, тож струм обмежує лише резистор: 12/20 = 0,6 A. 0 A — це значення одразу після комутації, а не наприкінці.
3Стала часу
Те, наскільки швидко відбувається зміна, задає одне число — стала часу τ (тау).
τ = R·C τ = L/R
Одиниці: kΩ, помножені на µF, дають мілісекунди. mH, поділені на Ω, також дають мілісекунди.
Кожна напруга й кожен струм підпорядковуються тій самій експоненціальній кривій між початковим і кінцевим значеннями:
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Після 1τ зміна завершена на 63%. Після 2τ — на 86%, після 3τ — на 95%.
Приблизно після 5τ коло для практичних цілей встановилося.
Для конденсатора, що заряджається з 0 V, формула стає такою:
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Самоперевірка Яка стала часу резистора 4,7 kΩ з конденсатором 10 µF?
0,47 ms
2,13 ms
47 ms
47 s
Відповідь: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, бо kΩ, помножені на µF, дають мілісекунди. Ділення замість множення дає 2,13 ms.
4Метод крок за кроком
Знайдіть початкове значення x(0) одразу після комутації. Скористайтеся правилом: vC та iL не можуть стрибнути.
Знайдіть кінцеве значення x(∞). Замініть конденсатор розривом, а котушку проводом і розв’яжіть коло постійного струму.
Знайдіть сталу часу: τ = R·C або τ = L/R, використавши опір, який бачить конденсатор або котушка.
Підставте три значення в x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Підставте час t в тій самій одиниці, що й τ, і обчисліть.
Якщо запитання питає про час, розв’яжіть ту саму формулу щодо t. Вам знадобиться натуральний логарифм ln.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Конденсатор не заряджений, коли ключ замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу й напругу на конденсаторі vC за t = 100 ms.
1
Погляньте на коло
Ключ підключає Vs = 10 V до конденсатора через R = 10 kΩ. C = 10 µF.
2
Початкове й кінцеве значення
Конденсатор не заряджений, а його напруга не може стрибнути, тож vC(0) = 0 V.
Довго після цього струм не тече, тож на R немає напруги. Усі 10 V припадають на C.
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
Стала часу
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
Напруга за t = 100 ms
Тут t дорівнює точно одній сталій часу, тож t/τ = 1.
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5
Перевірте відповідь
Після однієї сталої часу конденсатор має бути заряджений на 63%. 63% від 10 V — це 6,3 V, тож відповідь підходить.
Вона також нижча за джерело 10 V, як і має бути для конденсатора, що заряджається.
Відповідь
τ = 100 ms і vC = 6,32 V за t = 100 ms.
6Типові помилки
Використовувати формулу заряджання Vs·(1 − e−t/τ), коли конденсатор уже має напругу. Використовуйте загальну формулу з x(0).
Змішувати одиниці: kΩ, помножені на µF, дають мілісекунди, а не секунди. Тримайте t і τ в одній одиниці.
Відповідати Vs·e−t/τ. Це частина, якої ще бракує (або напруга на резисторі), а не напруга на конденсаторі.
Використовувати неправильний опір у τ. Використовуйте опір, який бачить конденсатор або котушка.
Самоперевірка Конденсатор має 4 V, коли його підключають до джерела 10 V. Яка vC через одну сталу часу? (e−1 ≈ 0,368)
10,32 V
2,21 V
6,32 V
7,79 V
Відповідь: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. Одна лише формула заряджання дає 6,32 V, що ігнорує початкові 4 V. 2,21 V — це частина, якої ще бракує.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легкий: заряджання RC з 0 V, як у прикладі. Ви знаходите τ або напругу на конденсаторі в заданий момент.
Середній: коло RL зі струмом котушки, що починається з 0. Ви знаходите i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), напругу на котушці vL = Vs·e−t/τ або час досягнення певного відсотка кінцевого струму.
Складний: конденсатор, що вже має напругу. Ви знаходите vC в заданий момент або час досягнення заданої напруги.
Щоб знайти час, перетворіть загальну формулу:
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
За τ = L/R, mH, поділені на Ω, дають ms. Тож котушка 50 mH з 10 Ω має τ = 5 ms.
Конденсатор заряджено до 5 V. При t = 0 ключ замикається, і конденсатор розряджається через R. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 50 ms.
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
Знайти: vC(V)
Показати підказки
Коло RC першого порядку має сталу часу τ = RC. При R у kΩ і C у µF стала τ виходить у ms.
Без джерела напруга на конденсаторі спадає до нуля: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
τ = 68 ms.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу
kΩ помножити на µF дає мілісекунди.
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
Крива розряджання
Конденсатор починає з накопиченої напруги, яка спадає до 0 V.
vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V
Відповідь
vC = 2,397 V
Приклад 2Середня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 75% кінцевого значення? Знайдіть t.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
Знайти: t(ms)
Показати підказки
Для кола RL τ = L/R. При L у mH і R в Ω стала τ виходить у ms.
Одразу після замикання струм котушки ще нульовий; через тривалий час котушка діє як коротке замикання, тож i(∞) = Vs/R.
τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Виразіть час
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms
Відповідь
t = 4,159 ms
Приклад 3Складна
Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 8,4 V? Знайдіть t.
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
Знайти: t(ms)
Показати підказки
Скористайтеся загальним розв’язком першого порядку x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Тут x(0) — накопичена напруга конденсатора, а x(∞) — напруга джерела, бо в усталеному режимі струм через конденсатор не тече.
τ = 100 ms.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms
Відповідь
t = 160,9 ms
Запитання й відповіді
Перехідні процеси RC і RL: що це?
Коли ви замикаєте ключ у колі лише з резисторами, кожен струм одразу стрибає до свого нового значення.
Ця плавна зміна називається перехідним процесом. Через деякий час коло встановлюється, і більше нічого не змінюється.
Перехідні процеси RC і RL: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Перехідні процеси RC і RL: які помилки найпоширеніші?
Використовують формулу заряджання для кола, що розряджається.
Плутають одиниці: kΩ, помножені на µF, дають ms, а не s.
Беруть неправильний опір для сталої часу.
Перехідні процеси RC і RL: що ви тренуєте?
Легка: заряджання RC
Середня: коло RL
Складна: конденсатор із початковим зарядом
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.