Метод контурних струмів: задачі з покроковими розв’язками

Q: Метод контурних струмів: що ви тренуєте?

Легка: 2 контури, 1 джерело Середня: 2 контури, 2 джерела Складна: 3 контури Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: МКС · контурні струми · другий закон Кірхгофа

Безкоштовні задачі з теми Метод контурних струмів з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: 2 контури, 1 джерело, 2 контури, 2 джерела, 3 контури.

Безкоштовна задачаЛегка

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм I_R1 через R₁ у напрямку стрілки.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Метод контурних струмів Тренуйтеся зараз: Метод контурних струмівБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легка2 контури, 1 джерело
Середня2 контури, 2 джерела
Складна3 контури

Як розв’язувати задачі на тему «Метод контурних струмів»

Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Типові помилки

Використовують повний контурний струм у спільному резисторі.
Помиляються зі знаком джерела під час обходу контуру.
Забувають, що джерело струму в зовнішній гілці задає цей контурний струм.

Основні формули

Закон напруг Кірхгофа: ΣV = 0 у кожному контурі
Спільний резистор: струм = I₁ − I₂
Джерело струму в контурі: задає струм цього контуру

Вивчайте тему «Метод контурних струмів» з нуля

Перед цим: Послідовні й паралельні резистори

1Що таке метод контурних струмів

Метод контурних струмів — стандартний спосіб знайти струми в колі. Він є партнером методу вузлових потенціалів: у вузловому методі невідомі — напруги, у контурному — струми.

Погляньте на плоский рисунок кола. Порожні «вікна», обмежені проводами та елементами, називають контурами.

Ви уявляєте один струм, що циркулює навколо кожного вікна. Це контурні струми. Кожен справжній струм гілки складається з них.

Уявіть ряд зубчастих коліс поруч. Кожне колесо крутиться саме, а там, де два колеса торкаються, ви бачите різницю їхніх рухів.

Самоперевірка Плоский рисунок кола має три вікна. Скільки контурних струмів потрібно?

Відповідь: 3. Один контурний струм на вікно, тож три. Потім ви записуєте по одному рівнянню на контур, разом три рівняння.

2Закон напруг Кірхгофа

Пройдіть один раз навколо будь-якого замкненого контуру й поверніться туди, звідки почали. Ви опиняєтеся за тієї самої напруги, що й на початку.

Отже, напруга, яку ви здобуваєте на джерелах, дорівнює напрузі, яку втрачаєте на резисторах. Це закон напруг Кірхгофа (ЗНК).

Σ підвищень напруги = Σ спадів напруги

Джерело є зростанням, коли ви проходите через нього від − до +. Резистор є спадом I·R, коли ви проходите через нього в напрямку його струму.

У цьому контурі джерело дає 12 V. Один резистор забирає 8 V, тож інший має забрати решту 4 V.

Самоперевірка Джерело 10 V живить один контур із двома резисторами. На першому напруга 7 V. Яка напруга на другому?

10 V
17 V
3 V
7 V

Відповідь: 3 V. Спади мають у сумі дорівнювати зростанню 10 V: 10 − 7 = 3 V. Додавання напруг (17 V) порушує ЗНК.

3Контурні струми в спільному резисторі

Малюйте кожен контурний струм за годинниковою стрілкою, з однаковою схемою назв: I₁, I₂, …

Резистор на зовнішньому краї кола належить лише одному контуру. Він проводить цей контурний струм.

Резистор між двома вікнами є спільним. Обидва контурні струми проходять через нього в протилежних напрямках. Його справжній струм — це різниця.

I_R3 (вниз) = I₁ − I₂

У контурі 1 струм I₁ тече вниз через R₃, тож ви пишете I₁ − I₂. У контурі 2 струм I₂ тече вгору через R₃, тож ви пишете I₂ − I₁.

Самоперевірка У колі вище I₁ = 3 A, а I₂ = 1 A. Який струм тече вниз через R₃?

Відповідь: 2 A. Спільний резистор проводить різницю: 3 − 1 = 2 A вниз. Додавання контурних струмів (4 A) — найпоширеніший промах.

4Метод крок за кроком

Порахуйте вікна. Намалюйте в кожному один контурний струм за годинниковою стрілкою: I₁, I₂, …
Обійдіть контур 1 за годинниковою стрілкою. Додайте спади: для кожного резистора R, помножене на струм через нього (його власний контурний струм або різниця в спільному резисторі).
Прирівняйте спади до зростань на джерелах у цьому контурі. Джерело враховується як +, коли ви проходите його від − до +, і як − в іншому напрямку.
Повторіть для кожного контуру. Ви отримаєте по одному рівнянню на контур.
Розв’яжіть рівняння відносно контурних струмів.
Знайдіть струм гілки або напругу, які вам потрібні. Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

Завжди обходьте в тому ж напрямку, що й контурний струм. Тоді кожен доданок резистора починається зі знака плюс.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Знайдіть контурні струми та струм I_R3 через R₃ у напрямку стрілки.

Призначте контурні струми

Є два вікна, тож є два контурні струми за годинниковою стрілкою, I₁ та I₂. Резистор R₃ є спільним для них.

ЗНК для контуру 1

Рухаючись за годинниковою стрілкою, ви проходите V₁ від − до +: зростання на 10 V. Резистор R₁ проводить I₁, а R₃ проводить I₁ − I₂.

2·I₁ + 6·(I₁ − I₂) = 10

8·I₁ − 6·I₂ = 10

ЗНК для контуру 2

Контур 2 не має джерела, тож його спади в сумі дорівнюють 0. Резистори R₂ і R₄ проводять I₂, а R₃ проводить I₂ − I₁.

4·I₂ + 2·I₂ + 6·(I₂ − I₁) = 0

−6·I₁ + 12·I₂ = 0 ⇒ I₁ = 2·I₂

Розв’яжіть рівняння

Підставте I₁ = 2·I₂ у перше рівняння.

8·2·I₂ − 6·I₂ = 10 ⇒ 10·I₂ = 10

I₂ = 1 A, I₁ = 2 A

Струм у R₃

Стрілка вказує вниз, так само як I₁ у R₃.

I_R3 = I₁ − I₂ = 2 − 1 = 1 A

Перевірте відповідь

Контур 1: R₁ забирає 2·2 = 4 V, а R₃ забирає 6·1 = 6 V. Разом 10 V, що дорівнює V₁.

Контур 2: R₂ і R₄ проводять 1 A і забирають 4 + 2 = 6 V. Це дорівнює 6 V на R₃, як і має бути, бо вони стоять між тими самими двома вузлами.

Відповідь

I₁ = 2 A, I₂ = 1 A і I_R3 = 1 A вниз.

6Типові помилки

Використовувати повний контурний струм у спільному резисторі. Спільний резистор проводить різницю двох контурних струмів.
Помилитися зі знаком джерела. Проходження джерела від + до − у напрямку обходу враховується як від’ємне зростання.
Обходити деякі контури проти годинникової стрілки. Тримайте кожен контурний струм і кожен обхід за годинниковою стрілкою.
Забувати, що від’ємний результат допустимий. Він лише означає, що струм тече проти годинникової стрілки.

Самоперевірка Рухаючись за годинниковою стрілкою по контуру 2, ви проходите джерело 6 V з його боку + до боку −. Контур 2 містить R₂ = 2 Ω і спільний R₃ = 4 Ω. Яке рівняння правильне?

2·I₂ + 4·(I₁ − I₂) = −6
2·I₂ + 4·(I₂ − I₁) = 6
2·I₂ + 4·(I₂ − I₁) = −6
2·I₂ + 4·I₂ = −6

Відповідь: 2·I₂ + 4·(I₂ − I₁) = −6. Проходження джерела від + до − є спадом, тож воно враховується як −6 V на стороні зростань. У контурі 2 спільний резистор проводить I₂ − I₁, а не лише I₂ і не I₁ − I₂.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легкий: два контури й одне джерело напруги, як у розібраному прикладі. Контур 2 не має джерела, тож його рівняння дорівнює 0.
Середній: два контури й два джерела напруги, по одному з кожного боку. Стежте за знаком правого джерела в контурі 2.
Складний: три контури з двома спільними резисторами. Середній контур має спільний резистор з кожним сусідом.

Запитання просить контурний струм, струм через резистор у напрямку стрілки або напругу на резисторі з показаною полярністю.

Щоб знайти напругу, спершу знайдіть струм через резистор, а потім скористайтеся V = I·R.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм I_R2 через R₂ у напрямку стрілки.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

Знайти: I_R2 (A)

Показати підказки

Вікон 2, тож задайте 2 контурні струми за годинниковою стрілкою (I₁, I₂) і запишіть по одному рівнянню ЗНК на контур.
У контурі 1 кожен резистор проводить I₁, окрім спільного резистора, що проводить I₁ − I₂.
Розв’язок дає I₁ = 0,95 A.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод контурних струмів: дайте кожному вікну плоского кола власний контурний струм, запишіть закон напруг Кірхгофа для кожного контуру (сума спадів = сума зростань) і розв’яжіть. Струми гілок — це контурний струм або різниця двох контурних струмів у спільній гілці.

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I₁, I₂. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

Обходячи за годинниковою стрілкою, спади напруги на резисторах дорівнюють зростанням напруги джерел (від − до + у напрямку обходу).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 10

11·I₁ − 3·I₂ = 10

ЗНК для контуру 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) + R₄·I₂ = 0

8·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 8·I₂ = 0

−3·I₁ + 19·I₂ = 0

Розв’яжіть

Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200

I₁ = Δ₁/Δ = 190/200 = 0,95 A

I₂ = Δ₂/Δ = 30/200 = 0,15 A

Відповідь

I_R2 = I₂ = 0,15 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

Приклад 2Середня

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти контурний струм I₁ (за годинниковою стрілкою).

V₁ = 15 VV₂ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 Ω

Знайти: I₁ (A)

Показати підказки

Вікон 2, тож задайте 2 контурні струми за годинниковою стрілкою (I₁, I₂) і запишіть по одному рівнянню ЗНК на контур.
У контурі 1 кожен резистор проводить I₁, окрім спільного резистора, що проводить I₁ − I₂.
Розв’язок дає I₁ = −0,3387 A.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Призначте контурні струми

ЗНК для контуру 1

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 15

22·I₁ − 12·I₂ = 15

ЗНК для контуру 2

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−24)

−12·I₁ + 15·I₂ = −24

Розв’яжіть

Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186

I₁ = Δ₁/Δ = −63/186 = −0,3387 A

I₂ = Δ₂/Δ = −348/186 = −1,871 A

Відповідь

I₁ = −0,3387 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

Приклад 3Складна

Скористайтеся методом контурних струмів, щоб знайти струм I_R4 через R₄ у напрямку стрілки.

V₁ = 36 VV₂ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 8 Ω

Знайти: I_R4 (A)

Показати підказки

Вікон 3, тож задайте 3 контурні струми за годинниковою стрілкою (I₁, I₂, I₃) і запишіть по одному рівнянню ЗНК на контур.
У контурі 1 кожен резистор проводить I₁, окрім спільного резистора, що проводить I₁ − I₂.
Розв’язок дає I₁ = 1,135 A.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Призначте контурні струми

У кожному вікні намалюйте струм за годинниковою стрілкою: I₁, I₂, I₃. Резистор, спільний для двох контурів, проводить різницю їхніх струмів.

ЗНК для контуру 1

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 36

45·I₁ − 30·I₂ = 36

ЗНК для контуру 2

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 58·I₂ − 8·I₃ = 0

ЗНК для контуру 3

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−15)

−8·I₂ + 18·I₃ = −15

Розв’яжіть

Δ = визначник матриці коефіцієнтів = 27900

I₁ = Δ₁/Δ = 31680/27900 = 1,135 A

I₂ = Δ₂/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A

I₃ = Δ₃/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A

Відповідь

I_R4 = I₁ − I₂ = 0,6323 A

Від’ємний контурний струм тече проти годинникової стрілки.

Запитання й відповіді

Метод контурних струмів: що це?

Метод контурних струмів: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Задайте струм за годинниковою стрілкою в кожному контурі (вікні) кола.
Застосуйте закон напруг Кірхгофа до кожного контуру: сума спадів напруги дорівнює нулю.
У резисторі, спільному для двох контурів, струм дорівнює різниці двох контурних струмів.
Розв’яжіть рівняння; від’ємний результат означає, що струм тече в протилежному напрямку.

Метод контурних струмів: які помилки найпоширеніші?

Використовують повний контурний струм у спільному резисторі.
Помиляються зі знаком джерела під час обходу контуру.
Забувають, що джерело струму в зовнішній гілці задає цей контурний струм.

Метод контурних струмів: що ви тренуєте?

Легка: 2 контури, 1 джерело
Середня: 2 контури, 2 джерела
Складна: 3 контури

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Послідовні й паралельні резистори

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 1 Підготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резистори Метод накладання Тевенен і Нортон Метод вузлових потенціалів Перехідні процеси RC і RL Повний опір і комплексні амплітуди Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності LC-резонанс, добротність і смуга пропускання Трифазні системи Трансформатори Двигуни постійного струму Схеми з операційними підсилювачами Діоди й транзистори DC-DC перетворювачі Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери Міст Вітстона й тензорезистори Збір даних і дискретизація Перетворення Лапласа Блок-схеми Перехідна характеристика Діаграми Боде та запаси Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф Усталена похибка та ПІД-регулювання Згортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Метод контурних струмів» з відповідями