Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: Таблиця Рауса й кількість полюсів, діапазон K для стійкості, кореневий годограф.

Безкоштовна задачаЛегка
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Характеристичний поліном системи зі зворотним зв’язком має вигляд Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Побудуйте таблицю Рауса й знайдіть, скільки коренів N полінома Q(s) лежить у правій півплощині.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Точна відповідь: ціле число, без округлення.

Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографТренуйтеся зараз: Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. ЛегкаТаблиця Рауса й кількість полюсів
  2. Середнядіапазон K для стійкості
  3. Складнакореневий годограф

Як розв’язувати задачі на тему «Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф»

  1. Запишіть характеристичний поліном замкненої системи: знаменник рівняння 1 + K·G(s) = 0, розкритий до кінця.
  2. Запишіть коефіцієнти по черзі в перші два рядки таблиці Рауса й побудуйте решту рядків.
  3. Підрахуйте зміни знака в першому стовпці: кожна з них — це полюс у правій півплощині. Якщо в таблиці є K, вимагайте, щоб кожен елемент першого стовпця залишався додатним.
  4. Для кореневого годографа позначте полюси й нулі, ділянки дійсної осі, асимптоти з центра та точки розгалуження, де dK/ds = 0. Для коефіцієнта підсилення в точці скористайтеся K = 1/|G(s)|.

Типові помилки

  • Висновок, що система стійка, бо всі коефіцієнти додатні; для кубічного й вищих порядків цього недостатньо.
  • Забуття вільного члена об’єкта, коли додають K: якщо три полюси лежать не на початку координат, елемент s⁰ дорівнює abc + K.
  • Вибір середини між двома полюсами як точки відходу, коли поблизу є третій полюс або нуль.
  • Використання положень полюсів без їхніх знаків у формулі центра.

Основні формули

Стійкість
усі корені характеристичного полінома в лівій півплощині
таблиця Рауса, елемент s¹ кубічного полінома
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Корені в правій півплощині
кількість змін знака в першому стовпці
Кубічний поліном s³ + a₂s² + a₁s + a₀
стійкий, коли всі a > 0 і a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Характеристичне рівняння
1 + K·G(s) = 0
Асимптоти
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Точки відходу й входу
dK/ds = 0
Умова модуля
K = 1/|G(s)|
Кут відходу
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Вивчайте тему «Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф» з нуля

Перед цим: Перетворення Лапласа, Блок-схеми

1Що означає стійкість

Система стійка, коли кожен обмежений вхід дає обмежений вихід. Після збурення стійка система заспокоюється; нестійка — розбігається або коливається зі зростальною амплітудою.

Поведінку задають полюси замкненого контуру: корені його характеристичного полінома. Полюс у точці s = p додає до відгуку складову ept.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Полюс із від’ємною дійсною частиною (ліва півплощина) дає складову, що згасає.
  • Полюс із додатною дійсною частиною (права півплощина) дає складову, що необмежено зростає.
  • Отже, система стійка лише тоді, коли всі полюси лежать у лівій півплощині.
Самоперевірка Замкнений контур має полюси в −3, −1 + j2, −1 − j2 і +0,5. Чи стійкий він?
  1. Ні, бо комплексні полюси завжди роблять систему нестійкою
  2. Ні, полюс у +0,5 робить його нестійким
  3. Так, бо комплексні полюси мають від’ємні дійсні частини
  4. Так, бо три з чотирьох полюсів лежать у лівій півплощині

Відповідь: Ні, полюс у +0,5 робить його нестійким. Одного полюса в правій півплощині досить: його складова e0,5t зростає. Комплексні полюси в лівій півплощині — це нормально; вони дають згасальні коливання.

2Таблиця Рауса

Для кубічного й вищих порядків корені важко знайти вручну. Критерій Рауса–Гурвіца дозволяє дізнатися, скільки коренів лежить у правій півплощині, не розв’язуючи рівняння.

Запишіть коефіцієнти по черзі в перші два рядки. Для s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Кожен новий рядок будують із двох рядків над ним. Для кубічного елемент рядка s¹ дорівнює:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Кількість змін знака в першому стовпці дорівнює кількості коренів у правій півплощині.

Приклад: s³ + 2s² + 3s + 10. Перший стовпець: 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Знаки йдуть +, +, −, +: дві зміни, тож два полюси лежать у правій півплощині.

Самоперевірка Яким є перший елемент рядка s¹ для s³ + 4s² + 5s + 2?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Відповідь: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Якщо забути поділити на 4, вийде 18; якщо поміняти добутки місцями — −4,5.

3Метод крок за кроком

  1. Запишіть характеристичне рівняння замкненого контуру 1 + K·G(s) = 0 і розкрийте його до полінома.
  2. Заповніть перші два рядки таблиці Рауса коефіцієнтами.
  3. Побудуйте решту рядків; залишайте K як символ, якщо воно входить.
  4. Підрахуйте зміни знака в першому стовпці або вимагайте, щоб кожен елемент першого стовпця був додатним, і знайдіть допустимий діапазон K.
  5. При граничному коефіцієнті підсилення рядок s¹ нульовий. Рядок s² тоді дає допоміжне рівняння a·s² + b = 0, корені якого ±jω показують частоту коливань.

Швидка перевірка для кубічного s³ + a₂s² + a₁s + a₀: він стійкий саме тоді, коли всі коефіцієнти додатні й a₂·a₁ > a₀.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Контур нижче має L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). За яких K замкнений контур стійкий і з якою частотою він коливається на межі?

1

Погляньте на контур

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Характеристичне рівняння має вигляд 1 + L(s) = 0, тож s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Розкрийте дужки

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Побудуйте таблицю Рауса

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Елемент рядка s¹ дорівнює (6·8 − 1·K)/6.

4

Тримайте перший стовпець додатним

З рядка s⁰: K > 0. З рядка s¹: 48 − K > 0, тож K < 48.

5

Частота на межі

При K = 48 рядок s¹ нульовий. Рядок s² дає 6s² + 48 = 0, тож s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Перевірте відповідь

При K = 48 поліном має вигляд s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Його корені — −6 і ±j2,83, як і очікувалося.

Відповідь

Контур стійкий при 0 < K < 48; при K = 48 він коливається з частотою ω = 2,83 rad/s.

5Кореневий годограф

Кореневий годограф показує, як рухаються полюси замкненого контуру, коли K зростає від 0 до ∞. Він починається в полюсах розімкненого контуру (×) і закінчується в нулях розімкненого контуру (○) або в нескінченності.

  • Точка дійсної осі належить годографу, коли кількість дійсних полюсів і нулів праворуч від неї непарна.
  • n − m віток, що йдуть у нескінченність, прямують уздовж асимптот під кутами (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Асимптоти виходять із центра σa = (Σ полюсів − Σ нулів)/(n − m).
  • Гілки відходять від дійсної осі або сходяться на ній там, де dK/ds = 0, причому на осі K = −1/G(s).
  • Коефіцієнт підсилення в будь-якій точці s годографа дорівнює K = 1/|G(s)|, тобто добутку відстаней до полюсів, поділеному на добуток відстаней до нулів.

Для L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) центр дорівнює (0 − 2 − 4)/3 = −2, а асимптоти виходять під кутами 60°, 180° і 300°.

ReIm0−2−460°

Точка відходу між 0 і −2 випливає з dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, тож s = −0,845.

Самоперевірка Для L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) де дві гілки залишають дійсну вісь?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Відповідь: s = −3. За двох дійсних полюсів і без нулів K = −(s + 1)(s + 5) найбільше рівно посередині між ними: dK/ds = −(2s + 6) = 0 дає s = −3.

6Типові помилки

  • Вважати систему стійкою, бо всі її коефіцієнти додатні. Для кубічного й вищих порядків потрібен ще й тест Рауса.
  • Забуття вільного члена об’єкта: для K/((s + a)(s + b)(s + c)) коефіцієнт при s⁰ дорівнює abc + K, а не K.
  • Вибір середини між двома полюсами як точки відходу, коли третій полюс або нуль викривляє годограф.
  • Пропуск знаків у центрі: множник (s + 4) — це полюс у точці s = −4.
Самоперевірка Чи є s³ + s² + 2s + 8 = 0 стійким характеристичним рівнянням?
  1. Ні: a₂·a₁ = 2 менше за a₀ = 8
  2. Ні: кубічне рівняння ніколи не буває стійким
  3. Так: коефіцієнти не змінюють знака
  4. Так: усі коефіцієнти додатні

Відповідь: Ні: a₂·a₁ = 2 менше за a₀ = 8. Елемент рядка s¹ дорівнює (1·2 − 8)/1 = −6, тож перший стовпець 1, 1, −6, 8 двічі змінює знак: два полюси лежать у правій півплощині. Додатних коефіцієнтів недостатньо.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий рівень: таблиця Рауса й кількість полюсів. Ви підраховуєте полюси кубічного чи четвертого степеня в правій півплощині, знаходите один елемент таблиці, полюс замкненого контуру для об’єкта першого порядку або коефіцієнт підсилення, що ставить його в задану точку.
  • Середній рівень: діапазон K. Ви знаходите найбільший стійкий коефіцієнт підсилення, частоту коливань при ньому, найменший коефіцієнт підсилення, що стабілізує нестійкий об’єкт, або наскільки можна збільшити коефіцієнт підсилення.
  • Важкий рівень: кореневий годограф. Ви знаходите центр асимптот, перетин з уявною віссю, точки відходу й входу, кут відходу від комплексного полюса або коефіцієнт підсилення в заданій точці чи при заданому коефіцієнті демпфування.

Щоб знайти коефіцієнт підсилення для коефіцієнта демпфування, запишіть характеристичний поліном і порівняйте його з s² + 2ζωns + ωn².

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
R(s)+K1s + 10C(s)−

Пропорційний коефіцієнт підсилення K керує об’єктом G(s) = 1/(s + 10) в контурі з одиничним зворотним зв’язком. Знайдіть коефіцієнт K, за якого полюс замкненої системи опиняється в точці s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Знайти: K

Показати підказки
  1. Полюс замкненої системи — корінь рівняння s + 10 + 1K = 0.
  2. Підставте s = −10,5 у це рівняння.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Критерій Рауса–Гурвіца: лінійна система стійка, коли всі корені її характеристичного полінома лежать у лівій півплощині s-площини. Запишіть коефіцієнти по черзі в перші два рядки таблиці Рауса. Кожен елемент нового рядка отримують із двох рядків над ним; для кубічного a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ елемент рядка s¹ дорівнює b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Кількість змін знака в першому стовпці дорівнює кількості коренів у правій півплощині. Якщо коефіцієнти містять коефіцієнт підсилення K, усі елементи першого стовпця мають залишатися додатними: значення K, за якого елемент рядка s¹ обертається на нуль, — це межа стійкості, а рядок s² тоді дає частоту незатухних коливань.

Характеристичне рівняння

s + 10 + 1K = 0

Потрібне підсилення

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Відповідь

K = 0,5
Приклад 2Середня
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Об’єкт G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) має нестійкий полюс у точці s = 4. Пропорційний коефіцієнт підсилення K замикає навколо нього контур з одиничним зворотним зв’язком. Знайдіть найменше значення Kmin, за якого замкнена система стійка.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Знайти: Kmin

Показати підказки
  1. Характеристичний поліном: (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Поліном другого порядку стійкий, коли обидва коефіцієнти додатні.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Критерій Рауса–Гурвіца: лінійна система стійка, коли всі корені її характеристичного полінома лежать у лівій півплощині s-площини. Запишіть коефіцієнти по черзі в перші два рядки таблиці Рауса. Кожен елемент нового рядка отримують із двох рядків над ним; для кубічного a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ елемент рядка s¹ дорівнює b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Кількість змін знака в першому стовпці дорівнює кількості коренів у правій півплощині. Якщо коефіцієнти містять коефіцієнт підсилення K, усі елементи першого стовпця мають залишатися додатними: значення K, за якого елемент рядка s¹ обертається на нуль, — це межа стійкості, а рядок s² тоді дає частоту незатухних коливань.

Характеристичний поліном

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Умови

Для s² + c₁s + c₀ усі корені лежать у лівій півплощині саме тоді, коли c₁ > 0 і c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Відповідь

Kmin = 3
Приклад 3Складна
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Кореневий годограф L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) відходить від дійсної осі між s = 0 і s = −4. Знайдіть точку відходу sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Знайти: sb

Показати підказки
  1. На дійсній осі K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Прирівняйте dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Візьміть корінь, що лежить між 0 і −4.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Кореневий годограф: зі зростанням коефіцієнта підсилення K від 0 до ∞ полюси замкненої системи, тобто корені рівняння 1 + K·G(s) = 0, рухаються від полюсів розімкненої системи до її нулів або до нескінченності. Точка дійсної осі належить годографу, коли кількість дійсних полюсів і нулів праворуч від неї непарна. n − m віток, що йдуть у нескінченність, прямують уздовж асимптот під кутами (2q + 1)·180°/(n − m), які виходять із центра σₐ = (Σ полюсів − Σ нулів)/(n − m). Гілки відходять від дійсної осі або сходяться на ній там, де dK/ds = 0. Умова кута ∠G(s) = 180° визначає форму годографа, а умова модуля K = 1/|G(s)| дає значення K у будь-якій точці годографа.

Коефіцієнт підсилення вздовж дійсної осі

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Стаціонарні точки

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Оберіть точку на годографі

Годограф лежить на дійсній осі між 0 і −4; другий корінь годографу не належить.

sb = −1,761

Відповідь

sb = −1,761

Запитання й відповіді

Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф: що це?

Система стійка, коли кожен обмежений вхід дає обмежений вихід. Після збурення стійка система заспокоюється; нестійка — розбігається або коливається зі зростальною амплітудою.

Поведінку задають полюси замкненого контуру: корені його характеристичного полінома. Полюс у точці s = p додає до відгуку складову ept.

Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Запишіть характеристичний поліном замкненої системи: знаменник рівняння 1 + K·G(s) = 0, розкритий до кінця.
  2. Запишіть коефіцієнти по черзі в перші два рядки таблиці Рауса й побудуйте решту рядків.
  3. Підрахуйте зміни знака в першому стовпці: кожна з них — це полюс у правій півплощині. Якщо в таблиці є K, вимагайте, щоб кожен елемент першого стовпця залишався додатним.
  4. Для кореневого годографа позначте полюси й нулі, ділянки дійсної осі, асимптоти з центра та точки розгалуження, де dK/ds = 0. Для коефіцієнта підсилення в точці скористайтеся K = 1/|G(s)|.
Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф: які помилки найпоширеніші?
  • Висновок, що система стійка, бо всі коефіцієнти додатні; для кубічного й вищих порядків цього недостатньо.
  • Забуття вільного члена об’єкта, коли додають K: якщо три полюси лежать не на початку координат, елемент s⁰ дорівнює abc + K.
  • Вибір середини між двома полюсами як точки відходу, коли поблизу є третій полюс або нуль.
  • Використання положень полюсів без їхніх знаків у формулі центра.
Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф: що ви тренуєте?
  • Легка: Таблиця Рауса й кількість полюсів
  • Середня: діапазон K для стійкості
  • Складна: кореневий годограф

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Перетворення ЛапласаБлок-схеми

Калькулятори

Калькулятор критерію стійкості Рауса–Гурвіца

Курси з цією темою

Теорія автоматичного керування 1Теорія керування 2: проєктування зворотного зв’язкуПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографТренуйтеся зараз: Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.