Послідовні й паралельні резистори: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: еквівалентний опір · з’єднання резисторів · послідовне і паралельне з’єднання

Безкоштовні задачі з теми Послідовні й паралельні резистори з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: 3 резистори, 4 резистори, драбина з 6 резисторів.

Безкоштовна задачаЛегка
R1​ = 10 Ω+−V1​8 VR2​4 ΩIR2​AR3​6 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 8 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 Ω
A
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Послідовні й паралельні резисториТренуйтеся зараз: Послідовні й паралельні резисториБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легка3 резистори
  2. Середня4 резистори
  3. Складнадрабина з 6 резисторів

Як розв’язувати задачі на тему «Послідовні й паралельні резистори»

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Типові помилки

  • Вважають два резистори послідовними, хоча між ними під’єднано гілку.
  • Паралельні резистори просто додають.
  • Забувають узяти обернене значення наприкінці формули для паралельного з’єднання.

Основні формули

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Вивчайте тему «Послідовні й паралельні резистори» з нуля

1Напруга, струм і опір

Електричне коло — це замкнений контур, яким може текти заряд. Те, що в ньому відбувається, описують три величини.

  • Напруга V у вольтах (V): рушійна сила заряду, як тиск води в трубі.
  • Струм I в амперах (A): скільки заряду проходить повз точку за секунду, як літри за секунду.
  • Опір R в омах (Ω): наскільки важко струму текти, як у вузькій ділянці труби.
+−VRI

Їх пов’язує закон Ома:

V = I · R

Якщо відомі дві з трьох величин, можна знайти третю: I = V/R і R = V/I.

Самоперевірка Джерело 12 V створює струм через резистор 4 Ω. Який це струм?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Відповідь: 3 A. I = V/R = 12/4 = 3 A. Множення (48 A) або ділення навпаки (0,33 A) — типові помилки.

2Послідовне з’єднання резисторів

Резистори з’єднані послідовно, якщо вони стоять один за одним на одному шляху, і між ними немає відгалужень.

R1​R2​IIab

Через обидва має проходити той самий струм, тож їхні опори просто додаються:

Req = R1 + R2 + R3 + …

Еквівалентний опір завжди більший за кожен окремий резистор. Довшу вузьку трубу важче продавити водою.

Самоперевірка Який еквівалентний опір резисторів 3 Ω, 5 Ω і 7 Ω, з’єднаних послідовно?
  1. 1,4 Ω
  2. 105 Ω
  3. 15 Ω
  4. 7 Ω

Відповідь: 15 Ω. За послідовного з’єднання додаємо: 3 + 5 + 7 = 15 Ω.

3Паралельне з’єднання резисторів

Резистори з’єднані паралельно, якщо обидва їхні кінці під’єднано до тих самих двох вузлів. Струм розгалужується між ними.

R1​R2​ab

Кожен резистор має ту саму напругу. Оскільки в струму кілька шляхів, повний опір зменшується:

1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …

Для двох резисторів є скорочення «добуток на суму»:

Req = R1·R2 / (R1 + R2)

Швидка перевірка здорового глузду: результат завжди менший за найменший резистор. Два однакові резистори паралельно дають половину одного.

Самоперевірка Чому дорівнює 6 Ω паралельно з 3 Ω?
  1. 0,5 Ω
  2. 2 Ω
  3. 4,5 Ω
  4. 9 Ω

Відповідь: 2 Ω. Добуток на суму: 6·3/(6 + 3) = 18/9 = 2 Ω. Це менше за 3 Ω, як і має бути. 0,5 — це 1/R: не забудьте взяти обернену величину.

4Метод крок за кроком

Реальні мережі поєднують послідовні й паралельні частини. Їх спрощують малими кроками.

  1. Позначте два виводи, з яких дивитеся (часто a і b, або джерело).
  2. Починайте з кінця мережі, найдальшого від цих виводів.
  3. Знайдіть два резистори, які чітко з’єднані послідовно або чітко паралельно, і замініть їх одним.
  4. Перекресліть коло з новим резистором.
  5. Повторюйте, доки між виводами не залишиться один резистор. Це Req.

Якщо запитують про струм джерела, закінчіть законом Ома: I = V/Req.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Знайдіть еквівалентний опір між a і b. Потім знайдіть струм, який віддало б джерело 22 V, під’єднане до a–b.

1

Погляньте на мережу

abR1​ = 5 ΩR2​12 ΩR3​ = 4 ΩR4​8 Ω

Почніть із крайнього правого краю. R3 і R4 лежать на одному шляху, і між ними немає відгалужень.

2

Об’єднайте R₃ і R₄ (послідовно)

R34 = 4 + 8 = 12 Ω
abR1​ = 5 ΩR2​12 ΩR34​12 Ω

Тепер R34 під’єднано між тими самими двома вузлами, що й R2.

3

Об’єднайте R₂ і R₃₄ (паралельно)

Rp = 12·12 / (12 + 12) = 6 Ω

Два однакові резистори паралельно дають половину одного, тож 6 Ω правильно.

abR1​ = 5 ΩRp​6 Ω
4

Об’єднайте R₁ і Rₚ (послідовно)

Req = 5 + 6 = 11 Ω
5

Скористайтеся законом Ома

I = V / Req = 22 / 11 = 2 A
Відповідь

Req = 11 Ω, а джерело віддає I = 2 A.

6Типові помилки

  • Називати два резистори «послідовними», коли від вузла між ними відходить гілка. Тоді вони не послідовні.
  • Додавати паралельні резистори безпосередньо, ніби вони послідовні.
  • Забути останній крок 1/Req = …: ще треба взяти обернену величину.
  • Не перекреслювати коло. Після кожного кроку малюйте менше коло, перш ніж шукати наступну пару.
Самоперевірка Два резистори по 10 Ω з’єднано паралельно. Який еквівалентний опір?
  1. 0,2 Ω
  2. 10 Ω
  3. 20 Ω
  4. 5 Ω

Відповідь: 5 Ω. Однакові резистори паралельно дають половину одного: 10·10/(10 + 10) = 5 Ω. 20 Ω було б для послідовного з’єднання, а 0,2 — це 1/R до взяття оберненої величини.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкі: три резистори, один послідовний і один паралельний крок. Ви шукаєте Req або струм джерела.
  • Середні: чотири резистори. Та сама ідея, ще на один крок більше.
  • Складні: драбина із шести резисторів. Завжди починайте з дальнього кінця й рухайтеся до джерела.

Коли питають про струм джерела, спершу знайдіть Req, а потім скористайтеся I = V/Req.

Запишіть відповідь з одиницею й перевірте, чи вона розумна: паралельна пара менша за кожен із резисторів.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
R1​ = 5 ΩIR1​+−V1​18 VR2​6 ΩAR3​12 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 Ω

Знайти: IR1 (A)

Показати підказки
  1. Спрощуйте мережу крок за кроком. Послідовні опори додаються. Два паралельні резистори дають R₁R₂/(R₁ + R₂).
  2. R₂ і R₃ обидва з’єднують вузол A з нижнім проводом, тож вони паралельні. Ця пара послідовна з R₁.
  3. Req = 9 Ω.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR3​12 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R2 ∥ R3 = 6·12/(6+12) = 4 Ω
Req = R1 + R2 ∥ R3 = 5 + 4 = 9 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/9 = 2 A

Відповідь

IR1 = 2 A
Приклад 2Середня
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω

Знайти: IR1 (A)

Показати підказки
  1. Спрощуйте мережу крок за кроком. Послідовні опори додаються. Два паралельні резистори дають R₁R₂/(R₁ + R₂).
  2. R₃ і R₄ проводять той самий струм, тож вони послідовні. Ця гілка паралельна R₂, а результат послідовний з R₁.
  3. Req = 8,25 Ω.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 3·9/(3+9) = 2,25 Ω
Req = R1 + 2,25 = 6 + 2,25 = 8,25 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/8,25 = 2,182 A

Відповідь

IR1 = 2,182 A
Приклад 3Складна
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω

Знайти: IR1 (A)

Показати підказки
  1. Спрощуйте мережу крок за кроком. Послідовні опори додаються. Два паралельні резистори дають R₁R₂/(R₁ + R₂).
  2. Почніть з R₅ + R₆ (послідовно), об’єднайте з R₄ (паралельно), додайте R₃, об’єднайте з R₂ і нарешті додайте R₁.
  3. Req = 19,86 Ω.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 4,444 Ω
R3 + 4,444 = 19,44 Ω
R2 ∥ 19,44 = 9,859 Ω
Req = R1 + 9,859 = 10 + 9,859 = 19,86 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/19,86 = 0,6043 A

Відповідь

IR1 = 0,6043 A

Запитання й відповіді

Послідовні й паралельні резистори: що це?

Електричне коло — це замкнений контур, яким може текти заряд. Те, що в ньому відбувається, описують три величини.

Їх пов’язує закон Ома:

Послідовні й паралельні резистори: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.
Послідовні й паралельні резистори: які помилки найпоширеніші?
  • Вважають два резистори послідовними, хоча між ними під’єднано гілку.
  • Паралельні резистори просто додають.
  • Забувають узяти обернене значення наприкінці формули для паралельного з’єднання.
Послідовні й паралельні резистори: що ви тренуєте?
  • Легка: 3 резистори
  • Середня: 4 резистори
  • Складна: драбина з 6 резисторів

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Повний опір і комплексні амплітудиДіоди й транзисториДвигуни постійного струмуМетод контурних струмівМетод вузлових потенціалівПерехідні процеси RC і RLМетод накладанняТевенен і НортонМіст Вітстона й тензорезистори

Калькулятори

Калькулятор послідовного й паралельного з’єднання резисторівКалькулятор дільника напругиКалькулятор закону Ома (напруга, струм, опір і потужність)Калькулятор кольорового кодування резисторів (4, 5 і 6 смуг)

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 1Основи електротехнікиФізика 2: Електрика й магнетизмЕлектроніка 1Вимірювання та вимірювальна технікаПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Метод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Послідовні й паралельні резистори» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Послідовні й паралельні резисториТренуйтеся зараз: Послідовні й паралельні резисториБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.