Метод вузлових потенціалів: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: метод вузлових напруг · перший закон Кірхгофа

Безкоштовні задачі з теми Метод вузлових потенціалів з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: 1 невідомий вузол, 2 невідомі вузли, 2 вузли, 3 джерела.

Безкоштовна задачаЛегка
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 10 Ω+−V1​8 VR3​4 ΩA+−V2​6 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 8 VV2 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
A
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Метод вузлових потенціалівТренуйтеся зараз: Метод вузлових потенціалівБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легка1 невідомий вузол
  2. Середня2 невідомі вузли
  3. Складна2 вузли, 3 джерела

Як розв’язувати задачі на тему «Метод вузлових потенціалів»

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Типові помилки

  • Плутають знак струму гілки у двох вузлових рівняннях.
  • Записують рівняння для опорного вузла.
  • Забувають джерело струму, що втікає у вузол або витікає з нього.

Основні формули

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Вивчайте тему «Метод вузлових потенціалів» з нуля

Перед цим: Послідовні й паралельні резистори

1Що таке метод вузлових потенціалів

Метод вузлових потенціалів — стандартний спосіб знайти кожну напругу в колі. Він працює, навіть коли правил послідовного й паралельного з’єднання недостатньо.

Вузол — це точка, де сходяться дві чи більше частин кола. Увесь відрізок простого дроту вважається одним вузлом, бо вздовж дроту немає спаду напруги.

Ви обираєте один вузол як опорний, його також називають землею, і надаєте йому 0 V. Усі інші вузлові напруги вимірюються від цього вузла.

Уявіть висоти на карті, виміряні від рівня моря. Вода тече згори вниз, а течія в трубі залежить від різниці висот її кінців.

Коли ви знаєте вузлові напруги, закон Ома дає кожен струм. Тож вузлові напруги — єдині невідомі, які вам потрібні.

Самоперевірка Який вузол має напругу 0 V за означенням?
  1. Вузол біля найбільшого джерела
  2. Вузол із найбільшою кількістю резисторів
  3. Кожен вузол без джерела
  4. Опорний вузол (земля), який ви обрали

Відповідь: Опорний вузол (земля), який ви обрали. Опорний вузол ви обираєте самі й називаєте його 0 V. Усі інші вузлові напруги вимірюються від нього.

2Закон струмів Кірхгофа

Заряд не може накопичуватися у вузлі. Тож увесь струм, що втікає у вузол, має знову витекти з нього. Це закон струмів Кірхгофа (ЗСК).

ΣIin = ΣIout

Наприклад, якщо у вузол втікають 3 A і 2 A, то разом 5 A мають залишити його іншими гілками.

Струм у кожному резисторі ви записуєте за законом Ома, використовуючи напруги на його двох кінцях:

Va​Vb​RI
I = (Va − Vb) / R

Це струм від a до b. Якщо результат від’ємний, струм насправді тече від b до a. Це нормально: зберігайте знак.

Самоперевірка Вузол a має 9 V, а вузол b — 4 V. Резистор 5 Ω з’єднує їх. Який струм тече від a до b?
  1. 1 A
  2. 1,8 A
  3. 2,6 A
  4. −1 A

Відповідь: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. Додавання напруг дає 2,6 A, обмін місцями дає −1 A, а 1,8 A ігнорує напругу в b.

3Метод крок за кроком

  1. Оберіть опорний вузол. Нижній провід — звичайний вибір. Позначте його символом землі.
  2. Знайдіть вузли, напругу яких ви вже знаєте. Вузол, з’єднаний із землею джерелом напруги, має напругу цього джерела.
  3. Назвіть кожен інший вузол (A, B, …). Їхні напруги VA, VB, … — невідомі.
  4. У кожному невідомому вузлі запишіть ЗСК: струми, що виходять через резистори, у сумі дорівнюють струму, що входить від джерел струму.
  5. Запишіть струм кожного резистора як (Vвузла − Vдругого кінця)/R, потім розв’яжіть рівняння.
  6. Використайте закон Ома, щоб знайти будь-який струм гілки, про який питає запитання.

Запис кожного струму резистора як такого, що виходить із вузла, робить знаки автоматичними. Вам не треба спершу вгадувати справжні напрямки.

Вам потрібне одне рівняння на кожен невідомий вузол. Ніколи не записуйте рівняння для опорного вузла: його напруга вже відома.

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Знайдіть вузлову напругу VA і струм IR1 через R1, від джерела до A.

1

Погляньте на коло

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 VVA​ ?

Нижній провід — земля. Верх V1 на 15 V вище за землю, тож цей вузол відомий: 15 V.

Невідомий лише вузол A, тож потрібне одне рівняння.

2

Запишіть ЗСК у A

Два резистори виходять із A: R1 іде до вузла 15 V, а R2 іде до землі. Джерело струму подає 1 A у A.

(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3

Розв’яжіть щодо VA

Помножте обидві частини на 6, щоб прибрати дроби.

2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4

Знайдіть струм у R₁

IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A

Результат додатний, тож 1 A справді тече від джерела до A.

5

Перевірте відповідь

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 V1 A2 A

R2 проводить 12/6 = 2 A вниз на землю. У A втікають 1 A через R1 і 1 A від джерела струму.

Це 2 A всередину і 2 A назовні, тож ЗСК виконується в A.

Відповідь

VA = 12 V і IR1 = 1 A.

5Два невідомі вузли

З двома невідомими вузлами ви записуєте по одному рівнянню ЗСК у кожному вузлі й розв’язуєте два рівняння разом.

+−V1​6 VR1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR2​3 ΩR4​3 ΩIs​2 AAB

У вузлі A виходять три резистори: R1, R2 і R3. У вузлі B виходять два резистори, а джерело струму подає 2 A всередину.

A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2

Помножте перше рівняння на 6, а друге на 3:

7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6

Додайте два рівняння. Доданки з VB скорочуються, тож 6·VA = 24.

VA = 4 V, VB = 5 V

Зверніть увагу, що R3 з’являється в обох рівняннях, як (VA − VB) у A і як (VB − VA) у B. Це швидка перевірка правильності ваших рівнянь.

6Типові помилки

  • Плутати знак спільного резистора: він (VA − VB) у A, але (VB − VA) у B.
  • Забувати джерело струму, що входить у вузол або виходить із нього.
  • Записувати рівняння ЗСК для опорного вузла або вважати відомий вузол невідомим.
  • Відкидати знак мінус від’ємного струму. Від’ємний результат означає, що струм тече проти стрілки.
Самоперевірка У вузлі A один резистор 4 Ω іде до землі, а інший резистор 4 Ω іде до вузла 12 V. Джерело 2 A подає струм у A. Чому дорівнює VA?
  1. 10 V
  2. 12 V
  3. 2 V
  4. 6 V

Відповідь: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 дає 2·VA − 12 = 8, тож VA = 10 V. Якщо забути джерело, вийде 6 V; якщо вважати його виходом із A, вийде 2 V.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: один невідомий вузол A з джерелом напруги та або джерелом струму, або другим джерелом напруги. Достатньо одного рівняння ЗСК.
  • Середній: два невідомі вузли A і B з джерелом струму в B. Запишіть два рівняння й розв’яжіть їх разом.
  • Складний: два невідомі вузли й три джерела: два джерела напруги та джерело струму. Метод той самий, лише з більшою кількістю доданків.

Запитання просить вузлову напругу або струм через один резистор у напрямку стрілки.

Для струму гілки спершу знайдіть вузлові напруги. Потім використайте I = (Vпочаток − Vкінець)/R уздовж стрілки.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
R1​8 Ω+−V1​20 VR2​3 Ω+−V2​18 VR3​2 Ω+−V3​8 VA

Між вузлом A і землею ввімкнено три вітки, як показано на схемі. Методом вузлових потенціалів знайдіть вузлову напругу VA.

V1 = 20 VR1 = 8 ΩV2 = 18 VR2 = 3 ΩV3 = 8 VR3 = 2 Ω

Знайти: VA (V)

Показати підказки
  1. Невідомий лише вузол A. Запишіть одне рівняння ЗСК: сума струмів віток, що виходять з A, дорівнює нулю.
  2. Струм кожної вітки (VA − Vk)/Rk. Зберіть доданки з VA з одного боку.
  3. Σ1/R = 0,9583 S.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Нижній провід візьміть за землю. Кожна вітка проводить від A струм (VA − Vk)/Rk, де Vk — напруга її джерела (нуль для простого резистора). Сума струмів, що виходять з A, дорівнює нулю.

(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0

Знайдіть VA

VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V

Відповідь

VA = 13,04 V
Приклад 2Середня
−+Vs​ = 3 VIx​Is​1,5 AAR1​6 ΩR2​3 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть струм Ix через джерело напруги від A до B, як показує стрілка.

Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω

Знайти: Ix (A)

Показати підказки
  1. Джерело напруги між двома незаземленими вузлами задає їхню різницю потенціалів: VB − VA = Vs.
  2. Запишіть одне рівняння ЗСК для надвузла навколо A, B і джерела: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
  3. VA = 1 V.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V

Струм через джерело напруги

Усе, що проходить через джерело від A до B, виходить з вузла B через R₂.

Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A

Відповідь

Ix = 1,333 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

Приклад 3Складна
R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR4 через R4 у напрямку стрілки.

V1 = 6 VIs = 0,5 AV2 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω

Знайти: IR4 (A)

Показати підказки
  1. Нижній провід вважайте землею (0 V). Вузли, з’єднані безпосередньо з джерелом напруги, вже відомі, тож невідомі — VA і VB.
  2. Запишіть ЗСК у A: для кожного резистора (VA − Vінший кінець)/R, і прирівняйте їх суму до струму джерела, що втікає в A.
  3. Розв’язок дає VA = 2,455 V. Тоді IR4 = (потенціал на початку стрілки − потенціал на її кінці)/R4.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05

Розв’яжіть

Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V

Відповідь

IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A

Запитання й відповіді

Метод вузлових потенціалів: що це?

Метод вузлових потенціалів — стандартний спосіб знайти кожну напругу в колі. Він працює, навіть коли правил послідовного й паралельного з’єднання недостатньо.

Ви обираєте один вузол як опорний, його також називають землею, і надаєте йому 0 V. Усі інші вузлові напруги вимірюються від цього вузла.

Метод вузлових потенціалів: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.
Метод вузлових потенціалів: які помилки найпоширеніші?
  • Плутають знак струму гілки у двох вузлових рівняннях.
  • Записують рівняння для опорного вузла.
  • Забувають джерело струму, що втікає у вузол або витікає з нього.
Метод вузлових потенціалів: що ви тренуєте?
  • Легка: 1 невідомий вузол
  • Середня: 2 невідомі вузли
  • Складна: 2 вузли, 3 джерела

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Послідовні й паралельні резистори

Далі

Схеми з операційними підсилювачами

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 1Основи електротехнікиПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Метод вузлових потенціалів» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Метод вузлових потенціалівТренуйтеся зараз: Метод вузлових потенціалівБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.