LC-резонанс, добротність і смуга пропускання: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми LC-резонанс, добротність і смуга пропускання з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: власна частота, Q та енергія, послідовний і паралельний RLC, проєктування, втрати й згасання.

Безкоштовна задачаЛегка
C = ?L = 4,7 mH

LC-контур з L = 4,7 mH має резонувати на 50 kHz. Знайдіть ємність C у нФ.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТренуйтеся зараз: LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкавласна частота, Q та енергія
  2. Середняпослідовний і паралельний RLC
  3. Складнапроєктування, втрати й згасання

Як розв’язувати задачі на тему «LC-резонанс, добротність і смуга пропускання»

  1. Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
  2. Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
  3. Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
  4. У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.

Типові помилки

  • Плутати ω₀ (рад/с) і f₀ (Гц): вони відрізняються на 2π.
  • Застосовувати формулу послідовного контуру для Q у паралельному, де більше R означає вищу добротність.
  • Ставити f₀ посередині між f₁ і f₂: це їхнє середнє геометричне √(f₁f₂).
  • Забувати переводити µH, nF і pF у H і F.

Основні формули

Власна частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Енергія
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Піковий струм
Imax = V0√(C/L)
Добротність
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Послідовний RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Паралельний RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Смуга пропускання
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоти половинної потужності
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур з опором котушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Згасання амплітуди
e−Rt/(2L)

Вивчайте тему «LC-резонанс, добротність і смуга пропускання» з нуля

Перед цим: Повний опір і комплексні амплітуди

1Що відбувається в LC-контурі

Зарядіть конденсатор і підключіть його до котушки індуктивності. Конденсатор гонить струм через котушку. Струм створює магнітне поле, і коли конденсатор розряджений, поле підтримує струм, тож конденсатор заряджається в протилежний бік. Потім усе йде назад.

C+−Li

Енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²), як маятник коливається між висотою й швидкістю. Без опору повна енергія ½CV0² не змінюється.

Самоперевірка У мить, коли напруга на конденсаторі дорівнює нулю, де міститься енергія ідеального LC-контуру?
  1. Вона втрачена у вигляді тепла
  2. Половина в C і половина в L
  3. Уся в конденсаторі
  4. Уся в котушці, а струм максимальний

Відповідь: Уся в котушці, а струм максимальний. Якщо v = 0, конденсатор містить ½Cv² = 0, тож уся енергія ½Li² зосереджена в котушці: струм максимальний. В ідеальному контурі немає опору, тож нічого не втрачається.

2Власна частота

Контур коливається на частоті, де реактивні опори L і C рівні, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

При L = 10 мГн і C = 1 мкФ: LC = 10⁻⁸ с², ω0 = 10 000 рад/с і f0 = 1592 Гц. Енергія переходить від C до L за чверть періоду T = 1/f0.

Енергія дає й піковий струм: ½CV0² = ½LImax², отже Imax = V0√(C/L).

Самоперевірка Що станеться з f0, якщо подвоїти C?
  1. Вона впаде до f0/√2, приблизно 0,71·f0
  2. Вона зменшиться вдвічі
  3. Вона зросте в √2 раза
  4. Вона подвоїться

Відповідь: Вона впаде до f0/√2, приблизно 0,71·f0. f0 пропорційна 1/√C, тож подвоєння C ділить її на √2. Вдвічі вона зменшується лише тоді, коли C стає вчетверо більшою.

3Добротність і смуга пропускання

Реальні кола втрачають енергію на опорі. Добротність Q порівнює запасену енергію з втратами: Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Висока добротність дає гострий резонансний пік.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

Смуга пропускання — це ширина піка між частотами половинної потужності f1 і f2, де струм становить 0,707 від максимуму:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • Послідовний RLC: Q = (1/R)·√(L/C) і BW = R/(2πL). Малий послідовний опір дає високу добротність.
  • Паралельний RLC: Q = R·√(C/L) і BW = 1/(2πRC). Великий паралельний опір дає високу добротність.

4Метод крок за кроком

  1. Переведіть L і C у H і F, потім знайдіть ω0 = 1/√(LC) і f0 = ω0/(2π).
  2. Визначте, чи R увімкнений послідовно, чи паралельно, і використайте відповідну формулу для Q.
  3. Знайдіть смугу пропускання BW = f0/Q.
  4. Для частот половинної потужності використайте f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); при високій добротності близьке значення дає f0 ∓ BW/2.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Послідовний RLC-контур має R = 10 Ом, L = 10 мГн і C = 1 мкФ. Знайдіть його резонансну частоту, добротність, смугу пропускання та частоти половинної потужності.

1

Погляньте на коло

RLC

Усі три елементи мають однаковий струм, тож це послідовний контур.

2

Резонансна частота

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Добротність

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Смуга пропускання

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Перевірка: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Гц.

5

Частоти половинної потужності

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz і 1673 Hz

Перевірка: 1673 − 1514 = 159 Гц, а √(1514·1673) = 1592 Гц.

Відповідь

f0 = 1,59 кГц, Q = 10, BW = 159 Гц, f1 = 1,51 кГц і f2 = 1,67 кГц.

6Типові помилки

  • Плутати ω0 у рад/с і f0 у Гц: вони відрізняються на 2π.
  • Застосовувати формулу послідовного контуру для Q у паралельному.
  • Ставити f0 посередині між f1 і f2: це їхнє середнє геометричне.
  • Забувати переводити мГн, мкГн, нФ і пФ у Гн і Ф.
Самоперевірка Паралельний RLC-контур має R = 10 кОм, L = 10 мГн і C = 1 мкФ. Чому дорівнює його Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Відповідь: 100. У паралельному контурі Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. Формула послідовного контуру (1/R)·√(L/C) дає 0,01, а пропуск кореня дає 1.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: власна частота, Q та енергія. Ви знаходите f0 або C для заданої f0, смугу пропускання за Q або Q за смугою, запасену енергію чи піковий струм.
  • Середній: послідовний і паралельний RLC. Ви знаходите Q або смугу пропускання послідовного чи паралельного контуру, точну частоту половинної потужності, час переходу енергії від C до L або енергію в L при заданій напрузі на конденсаторі.
  • Важкий: проєктування, втрати й згасання. Ви підбираєте R для заданої смуги або C для фільтра, знаходите втрачену за цикл енергію, динамічний опір коливального контуру, кількість циклів до зменшення амплітуди вдвічі або Q за двома частотами половинної потужності.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
C = ?L = 47 µH

LC-контур з L = 47 µH має резонувати на 500 kHz. Знайдіть ємність C у нФ.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Знайти: C (nF)

Показати підказки
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

LC-резонанс: заряджений конденсатор, підключений до котушки індуктивності, породжує струм, який заряджає його в протилежний бік: енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²) на власній частоті f0 = 1/(2π√(LC)). Без опору повна енергія ½CV0² стала, тож піковий струм дорівнює Imax = V0√(C/L). Один період — T = 1/f0; енергія переходить від C до L за чверть періоду.

Кутова частота

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Ємність

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Відповідь

C = 2,156 nF
Приклад 2Середня
V2 Ω2,2 mH220 nF

Послідовний RLC-контур має R = 2 Ом, L = 2,2 mH і C = 220 nF. Знайдіть його смугу пропускання BW в Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Знайти: BW (Hz)

Показати підказки
  1. Смуга пропускання дорівнює f₀/Q.
  2. Для послідовного RLC це спрощується до BW = R/(2πL): C випадає.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).

Смуга пропускання в рад/с

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Смуга пропускання в Гц

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Відповідь

BW = 144,7 Hz

При f₀ = 7,234 kHz це дає Q = 50.

Приклад 3Складна
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Паралельний коливальний контур складається з конденсатора 10 nF і котушки 47 µH з опором обмотки 0,5 Ом. На резонансі він поводиться як резистор, його динамічний опір RD = L/(C·r). Знайдіть RD в кОм.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Знайти: RD (kΩ)

Показати підказки
  1. На резонансі контур споживає лише малий струм, тож його повний опір великий.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Добротність і смуга пропускання: у резонансному колі Q = 2π·(запасена енергія)/(втрачена за цикл енергія). Для послідовного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для паралельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Смуга пропускання між частотами половинної потужності f1 і f2 (де потужність удвічі менша, а струм чи напруга становлять 1/√2 від піка) дорівнює BW = f2 − f1 = f0/Q, тобто R/(2πL) у послідовному й 1/(2πRC) у паралельному контурі. Резонансна частота є середнім геометричним f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Втрати також спричиняють згасання коливань: у послідовному RLC амплітуда спадає як e−Rt/(2L).

Динамічний опір

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Перевірка через Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Відповідь

RD = 9,4 kΩ

Запитання й відповіді

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання: що це?

Зарядіть конденсатор і підключіть його до котушки індуктивності. Конденсатор гонить струм через котушку. Струм створює магнітне поле, і коли конденсатор розряджений, поле підтримує струм, тож конденсатор заряджається в протилежний бік. Потім усе йде назад.

Енергія коливається між електричним полем C (½Cv²) і магнітним полем L (½Li²), як маятник коливається між висотою й швидкістю. Без опору повна енергія ½CV0² не змінюється.

LC-резонанс, добротність і смуга пропускання: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Спершу знайдіть резонансну частоту: ω₀ = 1/√(LC) і f₀ = ω₀/(2π).
  2. Визначте, чи контур послідовний, чи паралельний: послідовний Q = (1/R)√(L/C), паралельний Q = R√(C/L).
  3. Для смуги пропускання користуйтеся BW = f₀/Q або скороченнями R/(2πL) (послідовний) і 1/(2πRC) (паралельний).
  4. У задачах на енергію враховуйте, що повна енергія ½CV₀² в ідеальному LC-контурі лишається сталою й щочверті періоду переходить між C і L.
LC-резонанс, добротність і смуга пропускання: які помилки найпоширеніші?
  • Плутати ω₀ (рад/с) і f₀ (Гц): вони відрізняються на 2π.
  • Застосовувати формулу послідовного контуру для Q у паралельному, де більше R означає вищу добротність.
  • Ставити f₀ посередині між f₁ і f₂: це їхнє середнє геометричне √(f₁f₂).
  • Забувати переводити µH, nF і pF у H і F.
LC-резонанс, добротність і смуга пропускання: що ви тренуєте?
  • Легка: власна частота, Q та енергія
  • Середня: послідовний і паралельний RLC
  • Складна: проєктування, втрати й згасання

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Повний опір і комплексні амплітуди

Калькулятори

Калькулятор резонансної частоти (LC і RLC)

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струму

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «LC-резонанс, добротність і смуга пропускання» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТренуйтеся зараз: LC-резонанс, добротність і смуга пропусканняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.