Трифазні системи: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: трифазні кола · з’єднання зіркою і трикутником · трифазна потужність

Безкоштовні задачі з теми Трифазні системи з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: напруги й струми симетричних з’єднань Y і Δ, трифазна потужність, компенсація реактивної потужності.

Безкоштовна задачаЛегка
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?NZ = 24 + j7 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, має повний опір 24 + j7 Ω на фазу. Воно живиться від симетричного трифазного джерела з лінійною напругою 415 V. Знайдіть модуль лінійного струму IL.

VL = 415 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
A
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Трифазні системиТренуйтеся зараз: Трифазні системиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легканапруги й струми симетричних з’єднань Y і Δ
  2. Середнятрифазна потужність
  3. Складнакомпенсація реактивної потужності

Основні формули

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Вивчайте тему «Трифазні системи» з нуля

Перед цим: Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

1Що таке трифазна потужність

Майже вся електроенергія виробляється та розподіляється як трифазний змінний струм. Три проводи, які називають лініями або фазами (A, B і C), несуть по синусоїді.

Три хвилі мають однаковий розмір і частоту, але кожна зсунута на одну третину циклу, 120°, від наступної.

tABC120°

Уявіть трьох людей, що по черзі крутять педалі велосипеда: один тисне, поки інші відпочивають. Загальний поштовх лишається плавним. Так само збалансована трифазна система дає сталу загальну потужність, завдяки чому двигуни працюють плавно.

Їй також потрібно менше міді, ніж трьом окремим однофазним колам для тієї самої потужності.

У цій темі кожне навантаження збалансоване: усі три фази мають однаковий імпеданс. Тоді можна розрахувати одну фазу й помножити на три.

Самоперевірка На скільки кожна фазна напруга зсунута відносно наступної?
  1. 120°
  2. 180°
  3. 60°
  4. 90°

Відповідь: 120°. Три фази ділять один повний цикл 360°, тож вони відстоять на 360/3 = 120°.

2З’єднання Y і Δ

Трифазне навантаження має три імпеданси. Їх можна з’єднати двома способами.

NABCYABCΔ
  • Y (зірка): кожен імпеданс іде від лінії до спільної точки зірки N.
  • Δ (трикутник): кожен імпеданс стоїть між двома лініями, утворюючи трикутник.

Напруга між двома лініями — це лінійна напруга VL, значення, яке зазвичай задають (400 V, 415 V, 208 V…). Напруга на одному імпедансі — це фазна напруга Vph. Та сама ідея застосовується до лінійного струму IL і фазного струму Iph.

Y: VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ: VL = Vph, IL = √3·Iph

В обох випадках одна фаза підпорядковується закону Ома: Iph = Vph / |Z|, де |Z| = √(R² + X²).

Самоперевірка Навантаження, з’єднане Y, живиться від мережі 400 V (лінійна). Яка напруга на кожному імпедансі?
  1. 133 V
  2. 231 V
  3. 400 V
  4. 693 V

Відповідь: 231 V. У Y Vph = VL/√3 = 400/√3 = 231 V. 400 V — це випадок Δ, 693 V множить на √3, а 133 V ділить на √3 двічі.

3Трифазні системи

Повна потужність втричі більша за потужність однієї фази. Записана через лінійні значення, та сама повна потужність стає:

P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ
S = √3·VL·IL Q = P·tan φ

Ця формула однакова для Y і Δ. Коефіцієнт потужності cos φ — це коефіцієнт потужності імпедансу однієї фази: cos φ = R/|Z|.

Якщо ви знаєте фазний струм і опір, можна також використати P = 3·Iph²·R. Лише опір споживає активну потужність.

Самоперевірка Збалансоване навантаження споживає 10 A на лінію від мережі 400 V з коефіцієнтом потужності 0,9. Яку повну активну потужність воно споживає?
  1. 10800 W
  2. 3600 W
  3. 6235 W
  4. 6928 W

Відповідь: 6235 W. P = √3·400·10·0,9 = 6235 W. Пропуск √3 дає 3600 W, використання 3 замість √3 з лінійними значеннями дає 10800 W, а 6928 W забуває коефіцієнт потужності.

4Метод крок за кроком

  1. Зверніть увагу на з’єднання (Y чи Δ) і лінійну напругу VL.
  2. Знайдіть фазну напругу: Vph = VL/√3 для Y, Vph = VL для Δ.
  3. Знайдіть |Z| = √(R² + X²) і фазний струм Iph = Vph/|Z|.
  4. Знайдіть лінійний струм: IL = Iph для Y, IL = √3·Iph для Δ.
  5. Знайдіть потужність: P = 3·Iph²·R або P = √3·VL·IL·cos φ, де cos φ = R/|Z|.

Працюйте в одній фазі, доки можете. Переходьте до лінійних значень лише наприкінці.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Збалансоване навантаження, з’єднане Y, має імпеданс 6 + j8 Ω на фазу й живиться від мережі 400 V (лінійна). Знайдіть лінійний струм IL і повну активну потужність P.

1

Фазна напруга

У з’єднанні Y кожен імпеданс бачить фазну напругу.

Vph = 400 / √3 = 230,9 V
2

Модуль повного опору

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω

Коефіцієнт потужності cos φ = R/|Z| = 6/10 = 0,6.

3

Фазний і лінійний струм

Iph = 230,9 / 10 = 23,1 A

У Y лінійний струм дорівнює фазному, тож IL = 23,1 A.

4

Сумарна активна потужність

P = 3·Iph²·R = 3·23,1²·6 = 9600 W
5

Перевірте відповідь

З лінійними значеннями: P = √3·400·23,1·0,6 = 9600 W. Обидві формули збігаються.

Відповідь

IL = 23,1 A і P = 9,6 kW.

6Типові помилки

  • Прикладати лінійну напругу до імпедансу Y. У Y кожен імпеданс бачить VL/√3.
  • Забувати, що в Δ лінійний струм у √3 раза більший за фазний.
  • Ділити на R замість |Z| при знаходженні струму.
  • Використовувати 3 з лінійними значеннями або √3 з фазними у формулі потужності.
Самоперевірка Ті самі імпеданси 6 + j8 Ω тепер з’єднано Δ до мережі 400 V. Який лінійний струм?
  1. 115 A
  2. 23,1 A
  3. 40 A
  4. 69,3 A

Відповідь: 69,3 A. У Δ Vph = 400 V, тож Iph = 400/10 = 40 A і IL = √3·40 = 69,3 A. 40 A — це лише фазний струм, а 115 A ділить на R замість |Z|.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: навантаження Y або Δ з імпедансом, як-от 3 + j4 Ω. Ви знаходите лінійний або фазний струм.
  • Середньо: повна активна потужність, за імпедансом або за VL, IL і коефіцієнтом потужності. У запитанні про двигун задано вихідну потужність і ККД: спершу знайдіть Pin = Pout/η, потім IL = Pin/(√3·VL·cos φ).
  • Складно: корекція коефіцієнта потужності трифазною батареєю конденсаторів. Ви знаходите реактивну потужність QC або ємність на фазу.

Для корекції QC = P·(tan φ1 − tan φ2), як в однофазному колі. Кожен із трьох конденсаторів дає одну третину від неї:

C = QC / (3·ω·V²)

Тут V — напруга на кожному конденсаторі: VL для Δ і VL/√3 для Y. Тому батарея Y потребує втричі більшої ємності, ніж батарея Δ.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?Z = 24 + j7 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, має повний опір 24 + j7 Ω на фазу. Воно живиться від симетричного трифазного джерела з лінійною напругою 400 V. Знайдіть модуль лінійного струму IL.

VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω на фазу

Знайти: IL (A)

Показати підказки
  1. У з’єднанні трикутником кожен опір увімкнено між двома лінійними проводами.
  2. Тож кожен опір перебуває під повною лінійною напругою, і IL = √3·Iph.
  3. Iph = 400/25 = 16 A.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Модуль повного опору

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

Фазний струм

Кожен опір увімкнено між двома лінійними проводами, і він перебуває під напругою VL.

Iph = VL/|Z| = 400/25 = 16 A

Струм лінії

IL = √3·Iph = √3·16 = 27,71 A

Відповідь

IL = 27,71 A
Приклад 2Середня
ABCVL​ = 400 VZ = 24 + j18 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 24 + j18 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω на фазу

Знайти: P (kW)

Показати підказки
  1. У з’єднанні трикутником кожен опір перебуває під повною лінійною напругою.
  2. Знайдіть фазний струм, потім P = 3·Iph²·R.
  3. Iph = 13,33 A.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = VL = 400 V

Фазний струм

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13,33 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·13,33²·24 = 12,8 kW

Відповідь

P = 12,8 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

Приклад 3Складна
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz

Знайти: Cph (µF)

Показати підказки
  1. Спершу знайдіть QC = P·(tan φ1 − tan φ2).
  2. Кожен конденсатор дає QC/3.
  3. У зірці кожен конденсатор перебуває під напругою VL/√3: QC/3 = (VL/√3)²·ω·C.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 32,15 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10718/(377·277,1²) = 370,2 µF

Відповідь

Cph = 370,2 µF

Запитання й відповіді

Трифазні системи: що це?

Майже вся електроенергія виробляється та розподіляється як трифазний змінний струм. Три проводи, які називають лініями або фазами (A, B і C), несуть по синусоїді.

Три хвилі мають однаковий розмір і частоту, але кожна зсунута на одну третину циклу, 120°, від наступної.

Трифазні системи: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Трифазні системи: які помилки найпоширеніші?
  • Це фазний струм через один опір. У з’єднанні трикутником лінійний струм у √3 разів більший.
  • Це результат для з’єднання зіркою. У з’єднанні трикутником кожен опір перебуває під повною лінійною напругою.
  • Діліть на модуль повного опору |Z| = √(R² + X²), а не лише на R.
Трифазні системи: що ви тренуєте?
  • Легка: напруги й струми симетричних з’єднань Y і Δ
  • Середня: трифазна потужність
  • Складна: компенсація реактивної потужності

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Калькулятори

Калькулятор трифазної потужностіКалькулятор падіння напруги

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струмуОснови електротехнікиЕлектроенергетичні системи та електричні машиниСилова електроніка та приводиПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Трифазні системи» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Трифазні системиТренуйтеся зараз: Трифазні системиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.