Повний опір і комплексні амплітуди: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: символічний метод · комплексний опір · векторна діаграма · імпеданс

Безкоштовні задачі з теми Повний опір і комплексні амплітуди з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: послідовне RL, послідовне RLC, напруга на конденсаторі й резонанс.

Безкоштовна задачаЛегка
120 V50 HzR = 40 ΩL = 150 mH

Послідовне коло RL підключено до мережі 120 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VR на резисторі.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mH
V
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Повний опір і комплексні амплітудиТренуйтеся зараз: Повний опір і комплексні амплітудиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкапослідовне RL
  2. Середняпослідовне RLC
  3. Складнанапруга на конденсаторі й резонанс

Як розв’язувати задачі на тему «Повний опір і комплексні амплітуди»

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Типові помилки

  • Використовують f замість ω.
  • Додають модулі опорів замість комплексних значень.
  • Забувають, що ємнісний реактивний опір у комплексному опорі від’ємний.

Основні формули

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Вивчайте тему «Повний опір і комплексні амплітуди» з нуля

Перед цим: Послідовні й паралельні резистори

1Що таке змінний струм і повний опір

Мережева напруга — це змінний струм (AC): напруга коливається вгору й вниз, як синусоїда, багато разів на секунду.

Частота f — це кількість повних коливань за секунду, в герцах (Hz). Мережа має 50 Hz у Європі та 60 Hz у Північній Америці.

Розрахунки змінного струму часто використовують кутову частоту:

ω = 2π·f (rad/s)

Напруги й струми змінного струму зазвичай задають діючими (rms) значеннями. Діюче значення виконує таку саму теплову роботу, як і це значення постійного струму. Мережа «230 V» означає 230 V rms.

У колах змінного струму струм обмежують також котушки й конденсатори, а не лише резистори. Їхній сукупний вплив називають повним опором (імпедансом) Z, що вимірюється в омах.

Самоперевірка Джерело працює на частоті 50 Hz. Яка його кутова частота ω?
  1. 157 rad/s
  2. 314 rad/s
  3. 50 rad/s
  4. 7,96 rad/s

Відповідь: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s. Використання самого f (50) або ділення на 2π (7,96) — звичайні промахи; 157 забуває множник 2.

2Реактивний опір котушки та конденсатора

Котушка й конденсатор чинять опір змінному струму залежно від частоти. Цей частотно залежний опір називають реактивним опором X, в омах.

XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
  • Котушка протидіє швидким змінам. Її реактивний опір XL зростає з частотою. На постійному струмі (f = 0) вона є простим проводом.
  • Конденсатор блокує постійний струм, але пропускає швидкі зміни. Його реактивний опір XC спадає, коли частота зростає.

Завжди використовуйте L у генрі та C у фарадах: 100 mH = 0,1 H і 10 µF = 10·10−6 F.

Самоперевірка Який реактивний опір котушки 100 mH на частоті 50 Hz?
  1. 0,0318 Ω
  2. 31,4 Ω
  3. 5 Ω
  4. 5000 Ω

Відповідь: 31,4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,4 Ω. Використання f замість ω дає 5 Ω, а забуте перетворення mH у H дає 5000 Ω.

3Повний опір і фазовий кут

У резисторі напруга й струм зростають і спадають разом. У котушці струм відстає на чверть періоду від напруги; у конденсаторі випереджає на чверть періоду.

Через цей зсув R і X не можна додавати як прості числа. Їх додають під прямим кутом, записуючи як комплексне число з j:

Z = R + j·(XL − XC)
RXL​|Z|φ

Модуль повного опору та його кут випливають із прямокутного трикутника:

|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)

Закон Ома працює з модулем: I = V / |Z|. Кут φ показує, наскільки струм відстає від напруги. Додатний φ означає індуктивне коло (струм відстає); від’ємний φ — ємнісне.

Самоперевірка Послідовне коло має R = 30 Ω і XL = 40 Ω. Чому дорівнює |Z|?
  1. 10 Ω
  2. 2500 Ω
  3. 50 Ω
  4. 70 Ω

Відповідь: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. Додавання двох (70 Ω) ігнорує прямий кут, а 2500 забуває квадратний корінь.

4Метод крок за кроком

  1. Перетворіть частоту: ω = 2π·f.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC). Використовуйте H і F.
  3. Знайдіть сумарний реактивний опір X = XL − XC (послідовне коло).
  4. Знайдіть |Z| = √(R² + X²) і, за потреби, φ = arctan(X/R).
  5. Скористайтеся законом Ома: I = V/|Z|. Тоді напруга на одному елементі дорівнює I, помножене на його R або X.

У послідовному колі через кожен елемент тече той самий струм. Тому можна спершу знайти I і використовувати його всюди.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Послідовне коло RL з R = 50 Ω і L = 100 mH підключене до джерела 120 V (rms), 60 Hz. Знайдіть |Z|, діючий струм I і фазовий кут φ.

1

Погляньте на коло

120 V60 HzR = 50 ΩL = 100 mHI

Конденсатора немає, тож XC = 0.

2

Кутова частота та реактивний опір

ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
3

Повний опір

50 Ω37,7 Ω62,6 Ωφ
|Z| = √(50² + 37,7²) = 62,6 Ω
4

Струм і фазовий кут

I = V / |Z| = 120 / 62,6 = 1,92 A
φ = arctan(37,7 / 50) = 37,0°

Кут додатний, тож струм відстає від напруги, як і слід чекати для індуктивного кола.

5

Перевірте відповідь

Резистор забирає 1,92·50 = 95,8 V, а котушка — 1,92·37,7 = 72,2 V. Додані як прості числа, це 168 V, більше за напругу джерела.

Додані під прямим кутом, вони дають правильно: √(95,8² + 72,2²) = 120 V, напруга джерела.

Відповідь

|Z| = 62,6 Ω, I = 1,92 A і φ = 37,0° (струм відстає).

6Типові помилки

  • Використовувати f замість ω = 2πf в XL і XC.
  • Додавати R, XL і XC як прості числа. R перпендикулярний до X; XL і XC спрямовані в протилежні боки.
  • Забувати, що ємнісний реактивний опір віднімається: X = XL − XC.
  • Залишати L у mH або C у µF чи використовувати калькулятор у радіанах, коли потрібен φ у градусах.
Самоперевірка Послідовне коло RLC має R = 40 Ω, XL = 50 Ω і XC = 20 Ω. Чому дорівнює |Z|?
  1. 110 Ω
  2. 50 Ω
  3. 70 Ω
  4. 80,6 Ω

Відповідь: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω, тож |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω. Якщо додати XC замість того, щоб віднімати, вийде √(40² + 70²) = 80,6 Ω; 110 Ω — це просто сума всіх чисел.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: послідовне RL-коло в мережі 50 Hz або 60 Hz. Ви знаходите |Z| або діюче значення струму I.
  • Середньо: послідовне RLC-коло на різних частотах. Ви знаходите струм I або кут зсуву фаз φ, який від’ємний, коли XC більший за XL.
  • Складно: послідовне RLC-коло, де ви знаходите напругу на конденсаторі, струм або резонансну частоту.

Щоб знайти напругу на конденсаторі, спершу знайдіть I, а потім VC = I·XC. Поблизу резонансу вона може бути більшою за напругу джерела.

За резонансу XL = XC, тож вони взаємно знищуються і |Z| = R. Частота джерела тут не має значення:

f0 = 1 / (2π·√(L·C))

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
V100 HzC = 1 µF

Знайдіть реактивний опір XC конденсатора ємністю 1 µF на частоті 100 Hz.

C = 1 µFf = 100 Hz

Знайти: XC (Ω)

Показати підказки
  1. Перетворіть L і C на реактивні опори: XL = 2πfL і XC = 1/(2πfC).
  2. Спочатку переведіть µF у F: помножте на 10⁻⁶.
  3. ω = 628,3 rad/s.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

Відповідь

XC = 1592 Ω
Приклад 2Середня
Vf0​ = 1000 HzRL = 200 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 200 mH має резонувати на частоті 1000 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 1000 HzL = 200 mH

Знайти: C (µF)

Показати підказки
  1. При резонансі XL = XC, звідки f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. Виразіть: C = 1/((2πf₀)²·L).
  3. (2πf₀)² = 3,948 × 10⁷ s⁻².
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF

Відповідь

C = 0,1267 µF
Приклад 3Складна
VfR = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Послідовне RLC-коло має R = 20 Ω, L = 200 mH і C = 1 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Знайти: Q

Показати підказки
  1. Спочатку знайдіть резонансну частоту f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
  3. f₀ = 355,9 Hz, Q = 22,36.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 22,36

Відповідь

Q = 22,36

Запитання й відповіді

Повний опір і комплексні амплітуди: що це?

Мережева напруга — це змінний струм (AC): напруга коливається вгору й вниз, як синусоїда, багато разів на секунду.

Розрахунки змінного струму часто використовують кутову частоту:

Повний опір і комплексні амплітуди: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
Повний опір і комплексні амплітуди: які помилки найпоширеніші?
  • Використовують f замість ω.
  • Додають модулі опорів замість комплексних значень.
  • Забувають, що ємнісний реактивний опір у комплексному опорі від’ємний.
Повний опір і комплексні амплітуди: що ви тренуєте?
  • Легка: послідовне RL
  • Середня: послідовне RLC
  • Складна: напруга на конденсаторі й резонанс

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Послідовні й паралельні резистори

Далі

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіДіаграми Боде та запасиLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрансформатори

Калькулятори

Калькулятор повного опору RLC

Курси з цією темою

Теорія електричних кіл 2: кола змінного струмуОснови електротехнікиФізика 2: Електрика й магнетизмЕлектроенергетичні системи та електричні машиниПідготовка до іспиту FE Electrical and Computer

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Повний опір і комплексні амплітуди» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Повний опір і комплексні амплітудиТренуйтеся зараз: Повний опір і комплексні амплітудиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.