Міст Вітстона й тензорезистори: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Міст Вітстона й тензорезистори з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: рівновага й напруги вузлів, незбалансовані мости, тензорезистори й тензометричні датчики сили.

Безкоштовна задачаЛегка
+−9 VR1​ = 200 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 200 Ωab+−Vab​ = ?

Знайдіть вихідну напругу холостого ходу Vab = Va − Vb показаного моста при Vs = 9 V.

Vs = 9 VR1 = 200 ΩR2 = 300 ΩR3 = 500 ΩR4 = 200 Ω
V
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Міст Вітстона й тензорезисториТренуйтеся зараз: Міст Вітстона й тензорезисториБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкарівновага й напруги вузлів
  2. Середнянезбалансовані мости
  3. Складнатензорезистори й тензометричні датчики сили

Як розв’язувати задачі на тему «Міст Вітстона й тензорезистори»

  1. Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
  2. Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
  3. Для незбалансованого мосту знайдіть Va і Vb з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
  4. Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся Vs·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Типові помилки

  • Зіставлення не тих резисторів в умові рівноваги.
  • Застосування формули чвертьмосту до напівмосту чи повного мосту.
  • Забуття того, що деформацію часто задають у µε (10⁻⁶).
  • Застосування наближення малих змін Vs·ΔR/(4R) до великої зміни опору.

Основні формули

Напруги дільників
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Виведення
Vab = Va − Vb
Баланс
R1/R2 = R3/R4
Реохордний міст
R/Rx = l/(100 − l)
Опір Тевенена
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Коефіцієнт тензочутливості
ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту
чвертьміст Vs·GF·ε/4, напівміст Vs·GF·ε/2, повний міст Vs·GF·ε
Мала зміна, одне плече
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Напруження
σ = E·ε

Вивчайте тему «Міст Вітстона й тензорезистори» з нуля

Перед цим: Послідовні й паралельні резистори, Тевенен і Нортон

1Що таке міст Вітстона

Міст Вітстона — це два дільники напруги, підключені до одного джерела Vs. Вихід — це напруга між їхніми середніми точками a і b.

+−Vs​R1​R2​R3​R4​ab+−

Коли обидва дільники мають однакове відношення, a і b мають однакову напругу, і вихід нульовий: міст збалансований. Тоді крихітна зміна в одному плечі дає невеликий вихід, який легко виміряти, без великої спільної напруги зверху.

Саме тому мости застосовують для вимірювання невідомих опорів і малих змін опору датчиків, як-от тензорезистори й термістори.

Самоперевірка Усі чотири плеча мосту по 100 Ω, Vs = 10 V. Чому дорівнює вихід Vab?
  1. 0 V
  2. 10 V
  3. 2,5 V
  4. 5 V

Відповідь: 0 V. Обидва дільники ділять напругу навпіл, тож Va = Vb = 5 V і Vab = 0. 5 V — це напруга кожної середньої точки, а не різниця.

2Напруги вузлів та умова рівноваги

Кожна середня точка — це дільник напруги. Якщо R₁ зверху від R₂, а R₃ зверху від R₄:

Va = Vs·R2/(R1 + R2) Vb = Vs·R4/(R3 + R4) Vab = Va − Vb

Вихід нульовий, коли відношення збігаються:

R1/R2 = R3/R4 or R1·R4 = R2·R3

Напруга живлення в умову рівноваги не входить. Тож невідомий резистор можна знайти, підбираючи відомий, доки гальванометр не покаже нуль.

Самоперевірка Міст збалансований при R₁ = 100 Ω, R₂ = 200 Ω і R₃ = 150 Ω. Чому дорівнює R₄?
  1. 133,3 Ω
  2. 300 Ω
  3. 450 Ω
  4. 75 Ω

Відповідь: 300 Ω. R₄ = R₂·R₃/R₁ = 200·150/100 = 300 Ω. Якщо поміняти R₁ і R₂ місцями, вийде 75 Ω, а якщо зіставити не ті резистори — 133,3 Ω.

3Метод крок за кроком

  1. Позначте плечі: R₁ і R₂ у лівому дільнику, R₃ і R₄ у правому, вузол a між R₁ і R₂, вузол b між R₃ і R₄.
  2. Для збалансованого мосту розв’яжіть R₁·R₄ = R₂·R₃ відносно невідомого.
  3. Для незбалансованого мосту знайдіть Va і Vb з дільників і відніміть.
  4. Якщо вимірювач з опором Rg навантажує вихід, замініть міст еквівалентом Тевенена: Vth = Vab і Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄. Тоді Ig = Vth/(Rth + Rg).

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Міст має R₁ = 200 Ω, R₂ = 300 Ω, R₃ = 400 Ω і R₄ = 400 Ω при Vs = 12 V. Знайдіть вихідну напругу холостого ходу Vab і струм у гальванометрі 80 Ω, підключеному від a до b.

1

Погляньте на міст

+−12 V200 Ω300 Ω400 Ω400 Ωab+−Vab​

Правий дільник має рівні плечі, тож Vb дорівнює половині напруги живлення.

2

Напруги вузлів

Va = 12·300/500 = 7,2 V Vb = 12·400/800 = 6 V
3

Вихідна напруга

Vab = 7,2 − 6 = 1,2 V
4

Опір Тевенена

Якщо замкнути джерело накоротко, R₁ ∥ R₂ іде від a до шин, а R₃ ∥ R₄ — від шин до b.

Rth = 200∥300 + 400∥400 = 120 + 200 = 320 Ω
5

Струм гальванометра

Ig = 1,2/(320 + 80) = 0,003 A = 3 mA

Він тече від a до b, бо Va вища.

Відповідь

Vab = 1,2 V і Ig = 3 mA.

5Тензорезистори

Тензорезистор — це тонка металева фольга, приклеєна до деталі. Коли деталь розтягується, фольга стає довшою й тоншою, і її опір зростає:

ΔR/R = GF·ε

ε — це деформація (часто в мікродеформаціях, µε = 10⁻⁶), а GF — коефіцієнт тензочутливості, близько 2 для металевої фольги. Зміна крихітна: 500 µε на тензорезисторі 350 Ω при GF = 2 дає ΔR = 0,35 Ω.

У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, вихід близький до:

  • Чвертьміст (один активний тензорезистор): Vo ≈ Vs·GF·ε/4.
  • Напівміст (два тензорезистори з протилежною деформацією в одному дільнику): Vo = Vs·GF·ε/2.
  • Повний міст (чотири активні тензорезистори): Vo = Vs·GF·ε.

При Vs = 5 V, GF = 2 і 500 µε чвертьміст дає 5·2·0,0005/4 = 1,25 mV. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε.

Самоперевірка Ті самі тензорезистори (GF = 2, 500 µε, Vs = 5 V) увімкнено напівмостом. Який вихід?
  1. 0,625 mV
  2. 1,25 mV
  3. 2,5 mV
  4. 5 mV

Відповідь: 2,5 mV. Напівміст дає Vs·GF·ε/2 = 5·2·0,0005/2 = 2,5 mV, удвічі більше за 1,25 mV чвертьмосту. 5 mV потребувало б чотирьох активних тензорезисторів.

6Типові помилки

  • Зіставлення не тих плечей в умові рівноваги. Порівнюйте два верхні плечі з двома нижніми.
  • Використання множника 4 чвертьмосту для напівмосту чи повного мосту.
  • Забуття того, що µε означає 10⁻⁶.
  • Використання оцінки малих змін Vs·ΔR/(4R) для великої зміни опору; тоді точно обчисліть обидва дільники.
Самоперевірка Тензорезистор із GF = 2 показує ΔR/R = 0,002. Яка деформація?
  1. 0,001 µε
  2. 1000 µε
  3. 2 µε
  4. 4000 µε

Відповідь: 1000 µε. ε = (ΔR/R)/GF = 0,002/2 = 0,001 = 1000 µε. Запис 0,001 з одиницею µε занижує результат у мільйон разів, а множення на GF дає 4000 µε.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий рівень: рівновага й напруги вузлів. Ви знаходите невідоме або регульоване плече збалансованого мосту, напругу вузла, вихідну напругу холостого ходу, струм живлення чи невідомий резистор реохордного мосту.
  • Середній рівень: незбалансовані мости. Ви знаходите точний або лінеаризований вихід для зміни опору, опір Тевенена, струм гальванометра, зміну опору за виміряним виходом чи потужність у тензорезисторі.
  • Важкий рівень: тензорезистори й тензометричні датчики сили. Ви знаходите деформацію за ΔR, вихід чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту, деформацію або напруження за показом, коефіцієнт підсилення для входу перетворювача або вихід датчика сили з номіналом у mV/V.

Для реохордного мосту два відрізки дроту відіграють роль плечей відношення: R/Rx = l/(100 − l).

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
+−6 VR1​ = 250 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = ?R4​ = 150 ΩabG0

Міст Вітстона на схемі збалансовано підбором R₃. R₁ = 250 Ω, R₂ = 300 Ω і R₄ = 150 Ω. Знайдіть положення R3.

R1 = 250 ΩR2 = 300 ΩR4 = 150 Ω

Знайти: R3 (Ω)

Показати підказки
  1. При рівновазі обидва дільники дають однакову напругу: Va = Vb.
  2. R₁/R₂ = R₃/R₄.
  3. R₃ = R₁·R₄/R₂.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела Vs. Лівий дільник R1–R2 дає Va = Vs·R2/(R1 + R2), а правий дільник R3–R4 дає Vb = Vs·R4/(R3 + R4); вихід — Vab = Va − Vb. Міст збалансований (Vab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R1/R2 = R3/R4, тобто R1·R4 = R2·R3. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Умова рівноваги

R₁·R₄ = R₂·R₃

Невідомий резистор

R₃ = 250·150/300 = 125 Ω

Відповідь

R3 = 125 Ω

Напруга живлення при рівновазі не має значення.

Приклад 2Середня
+−10 VR1​ = 150 ΩR2​ = 1000 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 600 ΩabGRg​ = 20 Ω

Гальванометр з опором 20 Ω увімкнено між a і b показаного моста (Vs = 10 V). Знайдіть струм гальванометра Ig від a до b у µA.

Vs = 10 VR1 = 150 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 500 ΩR4 = 600 ΩRg = 20 Ω

Знайти: Ig (µA)

Показати підказки
  1. Замініть міст еквівалентом Тевенена з боку a–b.
  2. Vth = Va − Vb = 3,241 V, Rth = 403,2 Ω.
  3. Ig = Vth/(Rth + Rg).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела Vs. Лівий дільник R1–R2 дає Va = Vs·R2/(R1 + R2), а правий дільник R3–R4 дає Vb = Vs·R4/(R3 + R4); вихід — Vab = Va − Vb. Міст збалансований (Vab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R1/R2 = R3/R4, тобто R1·R4 = R2·R3. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Напруга Тевенена

Vth = 10·(1000/1150 − 600/1100) = 3,241 V

Опір Тевенена

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 403,2 Ω

Струм гальванометра

Ig = 3,241/(403,2 + 20) = 7659 µA

Відповідь

Ig = 7659 µA
Приклад 3Складна
+−V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−

Тензорезистор 350 Ω з коефіцієнтом тензочутливості 2,12 приклеєно до сталевого стрижня. Під навантаженням його опір зростає на 0,371 Ω. Знайдіть деформацію ε у мікродеформаціях (µε).

R = 350 ΩGF = 2,12ΔR = 0,371 Ω

Знайти: ε (µε)

Показати підказки
  1. ΔR/R = GF·ε.
  2. ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106.
  3. 1 µε = 10⁻⁶.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають Vs·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — Vs·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106

Деформація

ε = 0,00106/2,12 = 0,0005 = 500 µε

Відповідь

ε = 500 µε

Запитання й відповіді

Міст Вітстона й тензорезистори: що це?

Міст Вітстона — це два дільники напруги, підключені до одного джерела Vs. Вихід — це напруга між їхніми середніми точками a і b.

Коли обидва дільники мають однакове відношення, a і b мають однакову напругу, і вихід нульовий: міст збалансований. Тоді крихітна зміна в одному плечі дає невеликий вихід, який легко виміряти, без великої спільної напруги зверху.

Міст Вітстона й тензорезистори: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
  2. Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
  3. Для незбалансованого мосту знайдіть Va і Vb з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
  4. Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся Vs·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.
Міст Вітстона й тензорезистори: які помилки найпоширеніші?
  • Зіставлення не тих резисторів в умові рівноваги.
  • Застосування формули чвертьмосту до напівмосту чи повного мосту.
  • Забуття того, що деформацію часто задають у µε (10⁻⁶).
  • Застосування наближення малих змін Vs·ΔR/(4R) до великої зміни опору.
Міст Вітстона й тензорезистори: що ви тренуєте?
  • Легка: рівновага й напруги вузлів
  • Середня: незбалансовані мости
  • Складна: тензорезистори й тензометричні датчики сили

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Послідовні й паралельні резисториТевенен і Нортон

Курси з цією темою

Електроніка 1Вимірювання та вимірювальна технікаМехатронні системи

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографУсталена похибка та ПІД-регулюванняЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Міст Вітстона й тензорезистори» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Міст Вітстона й тензорезисториТренуйтеся зараз: Міст Вітстона й тензорезисториБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.