Усталена похибка та ПІД-регулювання: задачі з покроковими розв’язками

Безкоштовні задачі з теми Усталена похибка та ПІД-регулювання з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: тип системи та константи похибок, усталені похибки та коефіцієнт підсилення, проєктування П-, ПІ- і ПД-регуляторів.

Безкоштовна задачаЛегка
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Контур з одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненої системи G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Знайдіть константу швидкісної похибки Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Усталена похибка та ПІД-регулюванняТренуйтеся зараз: Усталена похибка та ПІД-регулюванняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкатип системи та константи похибок
  2. Середняусталені похибки та коефіцієнт підсилення
  3. Складнапроєктування П-, ПІ- і ПД-регуляторів

Як розв’язувати задачі на тему «Усталена похибка та ПІД-регулювання»

  1. Підрахуйте полюси розімкненого контуру C(s)·G(s) у точці s = 0: це тип системи.
  2. Знайдіть константу похибки, що відповідає входу: Kp для східчастого, Kv для лінійно наростального, Ka для параболічного сигналу.
  3. Застосуйте ess = A/(1 + Kp), A/Kv або A/Ka, або розв’яжіть це відносно потрібного коефіцієнта підсилення.
  4. Для вимоги щодо демпфування чи швидкодії запишіть характеристичний поліном замкненої системи й порівняйте його з s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Типові помилки

  • Використання A/Kp замість A/(1 + Kp) для східчастого сигналу.
  • Забуття коефіцієнта підсилення об’єкта при зіставленні коефіцієнтів: коефіцієнт підсилення контуру дорівнює K, помноженому на коефіцієнт підсилення об’єкта.
  • Ігнорування інтегратора регулятора під час визначення типу системи.
  • Сподівання, що самого пропорційного коефіцієнта підсилення досить, щоб усунути похибку за східчастого сигналу в контурі типу 0.

Основні формули

Тип системи
кількість полюсів G(s) у точці s = 0
Константи похибок
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Східчастий сигнал A
ess = A/(1 + Kp)
Лінійно наростальний сигнал A·t
ess = A/Kv
Параболічний сигнал A·t²/2
ess = A/Ka
ПІД-регулятор
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Цільова система другого порядку
s² + 2ζωns + ωn²
Перерегулювання та часові показники
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Вивчайте тему «Усталена похибка та ПІД-регулювання» з нуля

Перед цим: Блок-схеми, Перехідна характеристика

1Відпрацювання команди

Контур зі зворотним зв’язком порівнює команду r із виходом y і діє на похибку e = r − y. В ідеалі вихід у підсумку збігається з командою.

Часто так не буває. Після згасання перехідного процесу може лишитися розбіжність: усталена похибка ess.

tyress​

Наскільки велика ess, залежить від виду входу (східчастий, лінійно наростальний чи параболічний сигнал) і від кількості інтеграторів у контурі.

Самоперевірка Контур з одиничним зворотним зв’язком отримує r = 1, і його вихід встановлюється на y = 0,95. Яка усталена похибка?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Відповідь: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. Сам вихід дорівнює 0,95, а знак додатний, бо вихід лишається нижчим за команду.

2Тип системи та константи похибок

Тип системи — це кількість полюсів розімкненого контуру G(s) у точці s = 0, тобто кількість інтеграторів. G(s) = 10/(s(s + 5)) має один, тож це тип 1.

Три константи похибок підсумовують G(s) на дуже низьких частотах (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

За теоремою про кінцеве значення вони дають похибку для кожного входу:

стрибок A: A/(1 + Kp) лінійний сигнал A·t: A/Kv парабола A·t²/2: A/Ka
  • Тип 0: скінченна похибка за східчастого сигналу, нескінченна за лінійно наростального.
  • Тип 1: нульова похибка за східчастого сигналу, скінченна за лінійно наростального.
  • Тип 2: нульова похибка за східчастого й лінійно наростального сигналів, скінченна за параболічного.
Самоперевірка Чому дорівнює константа швидкісної похибки Kv для G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Відповідь: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), що при s = 0 дорівнює 10/5 = 2. Значення 0,5 — це похибка за лінійно наростального сигналу 1/Kv, а не константа.

3Метод крок за кроком

  1. Запишіть розімкнений контур: регулятор, помножений на об’єкт, C(s)·G(s).
  2. Підрахуйте його полюси в точці s = 0, щоб отримати тип системи.
  3. Оберіть константу похибки, що відповідає входу: Kp для східчастого, Kv для лінійно наростального, Ka для параболічного сигналу.
  4. Обчисліть границю: скоротіть множники s, а потім підставте s = 0 у те, що залишилося.
  5. Застосуйте формулу похибки або розв’яжіть її відносно коефіцієнта підсилення, що дає потрібну похибку.

Для вимоги щодо демпфування чи швидкодії запишіть характеристичний поліном замкненої системи й порівняйте його з s² + 2ζωns + ωn².

4Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Контур з одиничним зворотним зв’язком має G(s) = K/(s(s + 4)). Він має відпрацьовувати лінійно наростальний сигнал r(t) = 2t з усталеною похибкою 0,1. Знайдіть K і коефіцієнт демпфування, що вийде.

1

Визначте тип системи

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) має один полюс у точці s = 0, тож контур має тип 1: лінійно наростальний сигнал дає скінченну похибку.

2

Швидкісна константа

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Потрібна Kv

Нахил лінійно наростального сигналу дорівнює A = 2, тож ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Коефіцієнт підсилення

K = 4·Kv = 80
5

Перевірте демпфування

Характеристичний поліном — s² + 4s + 80, тож ωn = √80 = 8,94 rad/s і ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Похибка задовольняє вимогу, але перехідна характеристика на східчастий сигнал має перерегулювання близько 49 %. Саме через цей компроміс регулятори — це більше, ніж один коефіцієнт підсилення.

Відповідь

K = 80, що дає ζ = 0,22.

5П-, ПІ- та ПІД-регулятори

ПІД-регулятор поєднує три дії над похибкою:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Пропорційна (Kp): швидший контур і менша похибка для об’єкта типу 0, але похибка за східчастого сигналу ніколи не дорівнює нулю.
  • Інтегральна (Ki/s): додає полюс у точці s = 0, тож тип зростає на одиницю, і східчастий сигнал відпрацьовується без похибки.
  • Диференціальна (Kd·s): додає демпфування й зменшує перерегулювання.

Щоб підібрати коефіцієнти, зіставляйте їх. ПІ-регулятор для G(s) = 2/(s + 3) дає характеристичний поліном s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Для ωn = 5 rad/s і ζ = 0,8 цільовий поліном — s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Самоперевірка До регулятора контуру типу 0 додають інтегратор. Що станеться з усталеною похибкою за одиничного східчастого сигналу?
  1. Вона збільшиться
  2. Вона зменшиться, але не стане нульовою
  3. Вона стане нескінченною
  4. Вона стане нульовою

Відповідь: Вона стане нульовою. Інтегратор робить контур типом 1, тож Kp нескінченна, і A/(1 + Kp) = 0. Сам по собі більший пропорційний коефіцієнт підсилення лише зменшив би похибку.

6Типові помилки

  • Використання A/Kp замість A/(1 + Kp) для східчастого сигналу.
  • Забуття коефіцієнта підсилення об’єкта при зіставленні коефіцієнтів: коефіцієнт підсилення контуру — це коефіцієнт підсилення регулятора, помножений на коефіцієнт підсилення об’єкта.
  • Підрахунок лише інтеграторів об’єкта й пропуск інтегратора в ПІ-регуляторі.
  • Пропуск нулів під час обчислення Kv: множник (s + 3) при s = 0 дає 3.
Самоперевірка Східчастий сигнал величиною 5 подано на контур типу 0 з Kp = 9. Яка усталена похибка?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Відповідь: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Ділення лише на Kp дає 0,556, пропуск величини східця дає 0,1, а 4,5 — це кінцевий вихід.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий рівень: тип системи та константи похибок. Ви знаходите тип, Kp, Kv чи Ka передавальної функції, похибку за східчастого сигналу або кінцевий вихід контуру з П-регулюванням.
  • Середній рівень: усталені похибки та коефіцієнт підсилення. Ви знаходите похибку за лінійно наростального, параболічного сигналу або східчастого плюс лінійно наростального, чи коефіцієнт підсилення для потрібної похибки.
  • Важкий рівень: проєктування П-, ПІ- і ПД-регуляторів. Ви обираєте K для коефіцієнта демпфування, знаходите перерегулювання, час піку чи час встановлення для заданого K, обираєте коефіцієнти ПІ чи ПД зіставленням коефіцієнтів або знаходите похибку за лінійно наростального сигналу з ПІ-регулятором.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Контур з одиничним зворотним зв’язком має передавальну функцію розімкненої системи G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Знайдіть константу похибки за прискоренням Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Знайти: Ka

Показати підказки
  1. K_a = lim s²·G(s) при s → 0.
  2. Множник s² скорочує подвійний полюс у початку координат.
  3. Ka = 2·2/2.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Усталена похибка: у контурі з одиничним зворотним зв’язком і передавальною функцією розімкненої системи G(s) похибка дорівнює E(s) = R(s)/(1 + G(s)), а за теоремою про кінцеве значення ess = lims→0 s·E(s). Тип системи — це кількість полюсів G(s) у точці s = 0. Константи похибок: Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) і Ka = lim s²·G(s), усі при s → 0. Східчастий сигнал величини A дає ess = A/(1 + Kp), лінійно наростальний A·t дає A/Kv, а параболічний A·t²/2 дає A/Ka. Контур типу 0 відпрацьовує східчастий сигнал зі скінченною похибкою, контур типу 1 відпрацьовує його точно, а лінійно наростальний — зі скінченною похибкою.

Константа прискорення

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Відповідь

Ka = 2
Приклад 2Середня
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Контур з одиничним зворотним зв’язком має G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Знайдіть коефіцієнт підсилення K, за якого усталена похибка для східчастого входу становить 2 %.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Знайти: K

Показати підказки
  1. Для одиничного східчастого сигналу e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Усталена похибка: у контурі з одиничним зворотним зв’язком і передавальною функцією розімкненої системи G(s) похибка дорівнює E(s) = R(s)/(1 + G(s)), а за теоремою про кінцеве значення ess = lims→0 s·E(s). Тип системи — це кількість полюсів G(s) у точці s = 0. Константи похибок: Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) і Ka = lim s²·G(s), усі при s → 0. Східчастий сигнал величини A дає ess = A/(1 + Kp), лінійно наростальний A·t дає A/Kv, а параболічний A·t²/2 дає A/Ka. Контур типу 0 відпрацьовує східчастий сигнал зі скінченною похибкою, контур типу 1 відпрацьовує його точно, а лінійно наростальний — зі скінченною похибкою.

Потрібна константа похибки

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Коефіцієнт підсилення

K/10 = 49 → K = 490

Відповідь

K = 490

Перевірте також стійкість замкненої системи: для цього контуру другого порядку будь-яке K > 0 стійке.

Приклад 3Складна
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

П-регулятор K = 8 керує об’єктом G(s) = 5/(s(s + 2)) у контурі з одиничним зворотним зв’язком. Знайдіть 2-відсотковий час встановлення ts перехідної характеристики за формулою ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Знайти: ts (s)

Показати підказки
  1. Характеристичний поліном: s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ — це половина коефіцієнта при s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

П-, ПІ- і ПІД-регулювання: регулятор C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s діє на похибку. Пропорційний коефіцієнт підсилення робить контур швидшим і зменшує похибку об’єкта типу 0, але ніколи не усуває її. Інтегральна складова додає полюс у точці s = 0: тип системи зростає на одиницю, і східчастий сигнал відпрацьовується без похибки. Диференціальна складова додає демпфування. Щоб підібрати коефіцієнти, запишіть характеристичний поліном замкненої системи й порівняйте його з s² + 2ζωns + ωn². Тоді %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd при ωd = ωn√(1 − ζ²), а ts ≈ 4/(ζωn).

Характеристичний поліном

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ і ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Час встановлення

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Відповідь

ts = 4 s

Час встановлення тут не залежить від K: збільшення K лише прискорює коливання відгуку.

Запитання й відповіді

Усталена похибка та ПІД-регулювання: що це?

Контур зі зворотним зв’язком порівнює команду r із виходом y і діє на похибку e = r − y. В ідеалі вихід у підсумку збігається з командою.

Часто так не буває. Після згасання перехідного процесу може лишитися розбіжність: усталена похибка ess.

Усталена похибка та ПІД-регулювання: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Підрахуйте полюси розімкненого контуру C(s)·G(s) у точці s = 0: це тип системи.
  2. Знайдіть константу похибки, що відповідає входу: Kp для східчастого, Kv для лінійно наростального, Ka для параболічного сигналу.
  3. Застосуйте ess = A/(1 + Kp), A/Kv або A/Ka, або розв’яжіть це відносно потрібного коефіцієнта підсилення.
  4. Для вимоги щодо демпфування чи швидкодії запишіть характеристичний поліном замкненої системи й порівняйте його з s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Усталена похибка та ПІД-регулювання: які помилки найпоширеніші?
  • Використання A/Kp замість A/(1 + Kp) для східчастого сигналу.
  • Забуття коефіцієнта підсилення об’єкта при зіставленні коефіцієнтів: коефіцієнт підсилення контуру дорівнює K, помноженому на коефіцієнт підсилення об’єкта.
  • Ігнорування інтегратора регулятора під час визначення типу системи.
  • Сподівання, що самого пропорційного коефіцієнта підсилення досить, щоб усунути похибку за східчастого сигналу в контурі типу 0.
Усталена похибка та ПІД-регулювання: що ви тренуєте?
  • Легка: тип системи та константи похибок
  • Середня: усталені похибки та коефіцієнт підсилення
  • Складна: проєктування П-, ПІ- і ПД-регуляторів

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Блок-схемиПерехідна характеристика

Курси з цією темою

Теорія автоматичного керування 1Теорія керування 2: проєктування зворотного зв’язкуМехатронні системиПідготовка до іспиту FE Electrical and ComputerПідготовка до іспиту FE Mechanical

Інші теми: Електротехніка

Послідовні й паралельні резисториМетод накладанняТевенен і НортонМетод вузлових потенціалівМетод контурних струмівПерехідні процеси RC і RLПовний опір і комплексні амплітудиПотужність змінного струму й коефіцієнт потужностіLC-резонанс, добротність і смуга пропусканняТрифазні системиТрансформаториДвигуни постійного струмуСхеми з операційними підсилювачамиДіоди й транзисториDC-DC перетворювачіЦифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериМіст Вітстона й тензорезисториЗбір даних і дискретизаціяПеретворення ЛапласаБлок-схемиПерехідна характеристикаДіаграми Боде та запасиСтійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографЗгортка та лінійні стаціонарні системи

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Усталена похибка та ПІД-регулювання» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Усталена похибка та ПІД-регулюванняТренуйтеся зараз: Усталена похибка та ПІД-регулюванняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.