Теорія автоматичного керування 1: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Перший курс із керування зі зворотним зв’язком: перетворення Лапласа та передавальні функції, структурні схеми, перехідна характеристика, стійкість за критерієм Рауса–Гурвіца та кореневим годографом, усталена похибка, ПІД-регулювання й частотна характеристика. Більшість екзаменаційних питань починається з передавальної функції й просить знайти полюс, коефіцієнт підсилення або показник якості.

Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

  1. Перетворення Лапласатаблиця пар і теореми про значення · обернене перетворення розкладом на простіші дроби · Диференціальні рівняння та передатні функціїрозрахунки
  2. Блок-схемипослідовне, паралельне з’єднання та зворотний зв’язок · передатні функції замкненої системи та похибки · збурення, стійкість і полюсирозрахунки
  3. Перехідна характеристикасистеми першого порядку · параметри другого порядку · фізичні системи та проєктуваннярозрахунки
  4. Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годографТаблиця Рауса й кількість полюсів · діапазон K для стійкості · кореневий годографрозрахунки
  5. Усталена похибка та ПІД-регулюваннятип системи та константи похибок · усталені похибки та коефіцієнт підсилення · проєктування П-, ПІ- і ПД-регуляторіврозрахунки
  6. Діаграми Боде та запасифільтри й асимптоти · модуль і фаза · запаси стійкостірозрахунки

Поради до іспиту: Теорія автоматичного керування 1

  • Спершу запишіть характеристичний поліном замкненої системи: з нього випливають стійкість, демпфування й кореневий годограф.
  • Перш ніж обчислювати усталену похибку, підрахуйте полюси в точці s = 0: тип системи показує, яка похибка скінченна.
  • Порівняйте знаменник другого порядку з s² + 2ζωₙs + ωₙ², щоб зчитати коефіцієнт демпфування й власну частоту.

Розв’язані приклади

Перетворення ЛапласаЛегка
t (s)f(t)f(∞) = ?

Сигнал f(t) має перетворення Лапласа F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). За теоремою про кінцеве значення знайдіть значення f(∞), до якого прямує f(t).

F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))

Знайти: f(∞)

Показати підказки
  1. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lim s·F(s) при s → 0.
  2. Спершу перевірте, що всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині, тобто f(t) справді встановлюється.
  3. s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Перевірте, чи теорема застосовна

Теорема справедлива лише тоді, коли f(t) встановлюється; полюс на уявній осі або в правій півплощині дав би хибну відповідь.

Полюси s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, усі в лівій півплощині.

Кінцеве значення

f(∞) = lims→0 s·F(s) = lims→0 28/(s² + 2s + 23) = 28/23 = 1,217

Відповідь

f(∞) = 1,217
Блок-схемиСередня
R(s)+1(s + 3)(s + 2)(s + 4)G(s)C(s)−

Одиничний від’ємний зворотний зв’язок має G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). На задавальний сигнал подано сходинку розміром 2. Знайдіть усталену похибку ess.

G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2

Знайти: ess

Показати підказки
  1. Стала похибки за положенням Kₚ = G(0).
  2. Усталена похибка для сходинки розміром A: A/(1 + Kₚ).
  3. Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Алгебра блок-схем: блоки, з’єднані послідовно, перемножуються (G₁·G₂), блоки, з’єднані паралельно, додаються (G₁ + G₂), а контур із прямим шляхом G і шляхом зворотного зв’язку H зводиться до T = G/(1 + G·H) для від’ємного зворотного зв’язку та G/(1 − G·H) для додатного. Спершу згортайте внутрішні контури, потім рухайтеся назовні. Полюси замкненої системи — корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Для стійкого контуру вхідна сходинка розміром A дає усталений вихід A·T(0); за одиничного зворотного зв’язку усталена похибка на сходинку дорівнює A/(1 + Kp), де Kp = G(0).

Стала похибки за положенням

Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375

Усталена похибка

ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455

Відповідь

ess = 1,455

Як проходить тренування

  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор оберненого перетворення Лапласа (розклад на прості дроби)Калькулятор децибелів (dB, dBm і рівні звуку)Калькулятор діаграми Боде (запас за амплітудою та фазою)Калькулятор критерію стійкості Рауса–ГурвіцаКалькулятор перетворення Лапласа

Пов’язані курси

Підготовка до іспиту FE Electrical and ComputerТеорія керування 2: проєктування зворотного зв’язкуПідготовка до іспиту FE MechanicalСигнали та системиМехатронні системиТеорія електричних кіл 2: кола змінного струмуІнженерна математика 2Теорія електричних кіл 1
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.