Калькулятор оберненого перетворення Лапласа (розклад на прості дроби)
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Знайдіть обернене перетворення Лапласа раціональної функції F(s) = N(s)/D(s). Введіть коефіцієнти чисельника й знаменника, починаючи зі старшого степеня s. Калькулятор скорочує спільні множники, виділяє цілу частину неправильного дробу, знаходить полюси, обчислює кожен коефіцієнт простого дробу (для простих, кратних і комплексних полюсів) і записує f(t) як суму експонент, степенів t, синусів і косинусів.
Покроковий розв’язок
Запишіть F(s) як відношення многочленів
Полюси: корені знаменника
Простіші дроби
Використані пари перетворень
Обернене перетворення Лапласа
Як знайти обернене перетворення Лапласа за допомогою простих дробів
- Переконайтеся, що F(s) правильний дріб: якщо степінь чисельника не менший за степінь знаменника, спершу виконайте ділення. Многочленна частина дає імпульси δ(t), δ′(t) і так далі.
- Розкладіть знаменник на множники, щоб знайти полюси: дійсний полюс a дає множник (s − a), комплексна пара a ± bj дає (s − a)² + b².
- Запишіть F(s) як суму простих дробів і знайдіть коефіцієнти. Для простого полюса A = [(s − a)·F(s)] при s = a (правило закриття); для кратних полюсів потрібні похідні.
- Перетворіть кожен доданок за таблицею: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! та (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Додайте доданки, щоб отримати f(t) для t ≥ 0.
Запитання й відповіді
Як ввести F(s)?
Введіть коефіцієнти кожного многочлена від старшого степеня s вниз, розділені пробілами, з нулями для відсутніх степенів. (s + 3)/(s² + 3s + 2) — це чисельник 1 3 і знаменник 1 3 2; 1/(s³ + 4s) — чисельник 1 і знаменник 1 0 4 0. Допустимі дроби на кшталт 1/2 і десяткові числа.
Що таке метод закриття?
Для простого полюса при s = a помножте F(s) на (s − a), скоротіть і підставте s = a. Для F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) це дає 2/1 = 2 при s = −1 і 1/(−1) = −1 при s = −2, отже f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Як обробляються комплексні полюси?
Пара полюсів a ± bj дає доданок (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), обернене перетворення якого — e^(at)·(B cos bt + C sin bt). Калькулятор знаходить B і C за комплексним коефіцієнтом A при a + bj: B = 2·Re A і C = −2·Im A.
Що, якщо степінь чисельника завеликий?
Тоді F(s) — неправильний дріб. Ділення многочленів дає F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Многочлен Q(s) перетворюється на імпульси: стала c дає c·δ(t), c·s дає c·δ′(t) і так далі. Правильну частину R(s)/D(s) розкладають на прості дроби як зазвичай.
Наскільки точні результати?
Спільні та кратні множники знаходяться точно, у дробах. Потім корені й коефіцієнти обчислюються чисельно приблизно до 14 цифр і показуються з 4 значущими цифрами, тому ірраціональні полюси, наприклад у s² + s + 1, з’являються як десяткові дроби.
Чому f(t) справедлива лише для t ≥ 0?
Одностороннє перетворення Лапласа використовує лише значення f при t ≥ 0. Строго кажучи, результат — це f(t)·u(t), де u — одинична сходинка, тож f(t) = 0 при t < 0.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Перетворення Лапласа»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.