Інженерна математика 2: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Другий курс математики для інженерів: диференціальні рівняння другого порядку, матриці та вектори, методи інтегрування з об’ємами тіл обертання, частинні похідні та подвійні інтеграли, ряди та многочлени Тейлора, перетворення Лапласа і згортка. Це інструменти, на яких ґрунтуються курси електричних кіл, коливань і керування.

Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

  1. Диференціальні рівнянняекспоненціальне зростання й спадання · Закон охолодження Ньютона · лінійні першого порядкурозрахунки
  2. Матриці та визначникивизначник 2×2 · 3×3 і добутки · власні значення і системирозрахунки
  3. Вектори: скалярний і векторний добуткимодуль і компоненти · скалярний добуток · векторний добуток і моментирозрахунки
  4. Інтегралимногочлени · експоненти, логарифми й заміна змінної · площі між кривимирозрахунки
  5. Диференціальне числення функцій багатьох зміннихчастинні похідні та подвійні інтеграли · градієнт, дотична площина та правило ланцюга · критичні точки та інтеграли по областяхрозрахунки
  6. Послідовності та рядиарифметичні та геометричні ряди · збіжність і степеневі ряди · многочлени Тейлора та Маклоренарозрахунки
  7. Перетворення Лапласатаблиця пар і теореми про значення · обернене перетворення розкладом на простіші дроби · Диференціальні рівняння та передатні функціїрозрахунки
  8. Згортка та лінійні стаціонарні системидискретна згортка · неперервна згортка · імпульсна характеристика та ряд Фур’єрозрахунки

Поради до іспиту: Інженерна математика 2

  • Для лінійного ДР спершу запишіть характеристичне рівняння: його корені визначають вигляд розв’язку.
  • В інтегруванні частинами за u беріть той множник, який спрощується після диференціювання.
  • Користуйтеся таблицею Лапласа та розкладом на прості дроби, а не інтегруйте перетворення вручну.

Розв’язані приклади

Диференціальні рівнянняЛегка
rr² + br + c?

Для рівняння y″ + 4y′ + 3y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Знайти: r

Показати підказки
  1. Підставте y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Розкладіть на множники або скористайтеся формулою коренів квадратного рівняння.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичне рівняння

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Корені

r = −1, r = −3
найближчий до нуля: r = −1

Відповідь

r = −1

Загальний розв’язок: y = A·e−1t + B·e−3t.

Матриці та визначникиСередня
A =−153−5−1−3−513

Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Знайти: det A

Показати підказки
  1. Розкладіть за першим рядком зі знаками + − +.
  2. Кожен доданок — елемент, помножений на визначник 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця.
  3. мінори: 0, −30, −10.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Мінори 2×2 першого рядка

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Розклад за рядком

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Відповідь

det A = 120

Як проходить тренування

  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор оберненого перетворення Лапласа (розклад на прості дроби)Калькулятор перетворення ЛапласаКалькулятор визначника й оберненої матриціКалькулятор власних значень і власних векторівКалькулятор періоду напіврозпаду й експоненціального розпадуКалькулятор систем лінійних рівнянь (2×2 і 3×3)Калькулятор інтегралів (визначених і невизначених)

Пов’язані курси

Вища математикаМатематичний аналіз 2Чисельні методиТренувальні задачі AP CalculusДиференціальні рівнянняСигнали та системиМатематичний аналіз 1Статика
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.