Калькулятор систем лінійних рівнянь (2×2 і 3×3)
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Розв’яжіть систему з двох або трьох лінійних рівнянь. Введіть рівняння так, як ви їх записали б, наприклад 2x + y − z = 8, або введіть розширену матрицю. Калькулятор показує кожну операцію з рядками методу Гаусса–Жордана або визначники правила Крамера, працює з точними дробами та розпізнає системи без розв’язків або з нескінченною кількістю розв’язків, які записує з параметром.
Покроковий розв’язок
Система
Розширена матриця
Колона 1 (x): ведучий елемент у рядку 1
Колона 2 (y): ведучий елемент у рядку 2
Колона 3 (z): ведучий елемент у рядку 3
Зчитайте розв’язок
Перевірте в початкових рівняннях
Основні формули
- визначник 2×2
- det = ad − bc
- Обернена матриця 2×2
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Правило Крамера
- xi = det(Ai)/det(A)
Як розв’язати систему лінійних рівнянь методом виключення
- Запишіть систему як розширену матрицю: один рядок на рівняння, коефіцієнти при x, y і z та права частина після риски.
- Оберіть ведучий елемент у першому стовпці (ненульовий, бажано 1) і за потреби переставте його в перший рядок.
- Поділіть ведучий рядок на ведучий елемент, а потім віднімайте його кратні від інших рядків, щоб зробити решту стовпця нулями.
- Повторіть для наступного стовпця та наступного рядка, доки частина коефіцієнтів не набуде зведеного ступінчастого вигляду.
- Зчитайте розв’язок. Рядок 0 = c з c ≠ 0 означає, що розв’язків немає; стовпець без ведучого елемента означає вільну змінну й нескінченну кількість розв’язків.
- Перевірте підстановкою розв’язку в початкові рівняння.
Запитання й відповіді
Коли слід використовувати правило Крамера?
Для малих систем з ненульовим визначником, особливо 2×2. Кожна невідома — це відношення визначників: x = Dx/D. Для більших систем або коли D = 0 метод виключення швидший і до того ж показує, чи розв’язків немає, чи їх нескінченно багато.
Як дізнатися, що система не має розв’язків?
Коли виключення дає рядок, де всі коефіцієнти нульові, а права частина ненульова, наприклад 0 = 3. Геометрично прямі чи площини не мають спільної точки, наприклад дві паралельні прямі.
Що означає нескінченна кількість розв’язків?
Одне рівняння є комбінацією інших, тож незалежних рівнянь менше, ніж невідомих. Розв’язки утворюють пряму або площину, записану з параметром t: наприклад, x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Як вводити рівняння?
Розділяйте рівняння крапками з комою й пишіть коефіцієнт перед кожною змінною: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Дроби на кшталт 1/2x і десяткові числа дозволені, а змінна може стояти в обох частинах.
Що таке ранг?
Кількість ведучих елементів після виключення, тобто кількість незалежних рівнянь. Квадратна система має єдиний розв’язок саме тоді, коли ранг дорівнює кількості невідомих, тобто коли визначник ненульовий.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Матриці та визначники»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.